Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
па (t—Г
§14. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
411
Пусть движение заряда представляет собой гармоническое колебание вблизи начала координат с некоторой амплитудой А и частотой ш:
x(t)=A cos cot. (14.6)
Ускорение заряда a(t) при таком движении дается выражением
a{t) — x(t) =— coMcosco/. (14.7)
Подставляя ускорение заряда a (t) в формулу (14.5), получаем
qu32A cos ш it—— j
ЕМ=~ш,-----------------sl"e- <14-8>
Изменение электрического поля в любой точке при прохождении такой волны представляет собой гармоническое колебание с частотой со, т. е. осциллирующий заряд излучает монохроматическую волну. Разумеется, формула
(14.5) справедлива на расстояниях г, больших по сравнению с амплитудой колебаний заряда А.
Плотность энергии электрического поля wa монохроматической волны, излучаемой зарядом, можно найти с помощью формулы (14.8):
. 92ша/12соз2ш it — — 'j
wa~~2 воЕ1 — з2л%-----------^------- sin2(14.9)
Плотность энергии пропорциональна квадрату амплитуды колебаний заряда и четвертой степени частоты.
Любое колебание связано с периодическими переходами энергии из одного вида в другой и обратно. Например, колебания механического осциллятора сопровождаются взаимными превращениями кинетической энергии и потенциальной энергии упругой деформации. При изучении электромагнитных колебаний в контуре мы видели, что аналогом потенциальной энергии механического осциллятора является энергия электрического поля в конденсаторе, а аналогом кинетической энергии — энергия магнитного поля катушки. Эта аналогия справедлива не только для локализованных колебаний, но и для волновых процессов. В монохроматической волне, бегущей в упругой
412
ВОЛНЫ
среде, плотности кинетической и потенциальной энергий, как мы видели, в каждой точке совершают гармоническое колебание с удвоенной частотой, причем так, что их значения совпадают в любой момент времени. Так же и в бегущей монохроматической электромагнитной волне: плотности энергии электрического и магнитного полей, совершая гармоническое колебание с частотой 2®, равны друг другу в каждой точке в любой момент времени.
Плотность энергии магнитного поля и,*м выражается через индукцию В, как было показано в разделе «Электричество и магнетизм», следующим образом:
(фор мула (9.12) упомянутого раздела). Приравнивая плотности энергии электрического и магнитного полей в бегущей электромагнитной волне, убеждаемся, что индукция магнитного поля в такой волне зависит от координат и времени точно так же, как напряженность электрического ноля. Другими словами, в бегущей волне индукция магнитного поля В±и напряженность электрического поля пропорциональны друг другу в любой точке в любой момент времени:
В± = Уъ^Е^ = -- Е±.
Полная плотность энергии электромагнитного поля в Гегущей волне w вдвое больше плотности энергии электрического поля (14.9). Плотность потока энергии j, переносимой волно/i, равна произведению плотности энергии w па скорость распространения волны-г. /=сдо. С помощью формулы (14.9) можно увидеть, что поток энергии через любую поверхность осциллирует с частотой 2®. Для нахождения среднего значения плотности потока энергии (/) необходимо усреднить по времени выражение (14.9).
Так как среднее значение cos2a>(^i—^ равно 1/2, то для
(/) получаем
<14Л0>
Плотность потока энергии в волне зависит от направления: в том направлении, по которому происходят колебания
§ 14. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
413
Рис. !4.5. Угловое распределение энергии, излучаемой осциллирующим зарядом.
заряда, энергия вовсе не излучается (sin 0=0). Наибольшее количество энергии излучается в плоскости, перпендикулярной этому направлению (sin 0=1). Угловое распределение излучаемой осциллирующим зарядом энергии показано на рис. 14.5. Заряд совершает колебания вдоль оси г. Из начала координат проводятся отрезки, длина которых пропорциональна излучаемой в данном направлении энергии, т. е. sin2 0. На диаграмме показана линия, соединяющая концы этих отрезков.
Распределение энергии по направлениям в пространстве характеризуется поверхностью, которая получается вращением диаграммы вокруг оси г.
Электромагнитная волна в вакууме является поперечной: вектор напряженности электрического поля волны, как это видно из приведенных выше рассуждений, перпендикулярен направлению распространения волны. Проведем через точку наблюдения Р на рис. 14.6 сферу с центром в начале координат, около которого вдоль оси г совершает колебания излучающий заряд. Проведем на ней параллели и меридианы.
Тогда вектор Е поля волны направлен по касательной к меридиану, а вектор В перпендикулярен вектору Е и направлен по касательной к параллели. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим подробнее взаимосвязь электрического и магнитного полей в бегущей волне. Эти поля после излучения волны уже не связаны с источником. При изменении электрического поля волны возникает магнитное поле, силовые линии которого, как мы видели при изучении тока смещения, перпендикулярны силовым линиям электрического поля. Это переменное магнитное поле, изменяясь, в свою очередь приводит к появлению
