Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
ug=*cVgh, h<^k. (13.10)
Динамическая теория дает в этом случае С=1. Скорость распространения предельно длинных гравитационных волн зависит от глубины водоема h: чем глубже вода, тем больше скорость распространения.
Построим зависимость скорости распространения от длины волны для волн разного вида на поверхности воды. Удобно по оси абсцисс откладывать не к, a YX. Скорость капиллярных волн изображается гиперболой на рис. 13.1.
§13. ВОЛНЫ НА ВОДЕ. ДИСПЕРСИЯ
403
Скорость гравитационных волн изображается прямой, которая по мере роста длины волны загибается и асимптотически приближается к прямой u*=Vgh. Скорость йа-пиллярных волн падает с увеличением длины волны, а скорость гравитационных растет, приближаясь к максимальному значению, равному Ygh- Кривые иа и ug пересекаются при некотором значении При волны на
воде являются чисто капиллярными, при Я^>л0 — чисто гравитационными. Если же длина волны Я близка к Я,0, то распространение таких волн определяется в равной мере и поверхностным натяжением, и силой тяжести. Динамическое рассмотрение показывает, что скорость распространения таких капиллярно-гравитационных волн и дается выражением
« = (13.11)
Зависимость и от показана сплошной кривой на рио, 13.1. Минимум этой кривой приходится на значение Я,=Я,0. Определим Я,0, приравнивая скорости иа и ug. Ис- _ пользуя значения <т= ,
=72 дин/см, g=980 см/с2 к--------------------
и р=1 г/см3, получим Рис. 13.2. Профиль гравитацион-Л,0= 1,73 СМ. Минимальное НЫХ волн На воде,
значение скорости ит1п определяется с помощью (13.11) и оказывается равным 23,2 см/е. На поверхности воды не может существовать волн, распространяющихся со скоростью, меньшей 23,2 см/с!
Капиллярные волны на поверхности воды — это рябь с длиной волн, меньшей 1 см. Те волны, которые мы обычно видим на поверхности воды, имеют гораздо большую длину волны и являются гравитационными. Профиль таких волн лишь в предельном случае очень малых амплитуд напоминает синусоиду. Волны на воде имеют узкие острые гребни и широкие плоские впадины (рис. 13.2). Такая форма волны обусловлена тем, что волна на поверхности воды не является чисто поперечной: отдельные частицы жидкости при прохождении волны движутся по замкнутым траекториям, близким к круговым.
Скорость гравитационных волн на глубокой воде растет е увеличением длины волны. Этот рост, как видно из
404
волны
рис. 13.1, замедляется, как только длина волны становится сравнимой с глубиной водоема. Поэтому максимальная скорость распространения гравитационных волн на воде определяется глубиной водоема. Наибольшая глубина встречается в открытом океане. Там и следует ожидать самых быстрых волн. Оценим их максимальную скорость. Примем глубину океана равной 5 км. Наибольшую скорость будут иметь волны, длина которых значительно больше 5 км. Для них даже такая вода будет «мелкой», и с помощью формулы (13.10) находим uzz200 м/с, т. е. примерно 700 км/ч,— волна бежит со скоростью самолета. Столь длинные волны возникают при подводных землетрясениях и называются цунами.
Как мы видели, скорость распространения волы на воде оказалась зависящей от длины волны, т. е. имеет место дисперсия. Предположим, что на поверхности воды распространяется не отдельная монохроматическая волна бесконечной протяженности, а группа волн, представляющая собой цуг ограниченной длины. С какой скоростью будет распространяться центр такого цуга? Представление о движении цуга волн можно получить, рассматривая волну, образующуюся при сложении двух монохроматических волн с близкими длинами % и Я.+ДЯ. В отсутствие дисперсии эти волны распространялись бы с одинаковой скоростью и. При наличии дисперсии они распространяются с несколько различающимися скоростями и и ы+Ди.
Как выглядит моментальная «фотография» результирующей волны? Фотографии каждой из складываемых волн представляли бы собой застывшие синусоиды с разной длиной волны (рис. 9.5). В том месте, где горб одной из этих волн совпадает с горбом другой, результирующая волна имеет горб удвоенной высоты. Там, где горб одной волны совпадает с впадиной другой, в результирующей волне смещение равно нулю. Как видно из рис. 9.5, «фотография» результирующей волны представляет собой последовательность отдельных групп волн. Как вся эта картина меняется со временем?
Если скорости складываемых волн одинаковы, то результирующая волна распространяется с той же скоростью, не изменяя своей формы. Если же скорости складываемых волн различаются, то взаимное расположение их горбов и впадин меняется о течением времени. Мгновенная «ф°'
§13. ВОЛНЫ НА ВОДЕ. ДИСПЕРСИЯ
4С5
тография» результирующей волны будет, разумеется, иметь такой же вид, как и раньше, но положение центров отдельных групп волн с течением времени будет изменяться относительно горбов и впадин складываемых воли. Поэтому центры отдельных групп волн движутся с иной скоростью, нежели складываемые си- д
