Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть поверхность S представляет собой положение волновой поверхности в некоторый момент времени (рис. 2.1). Для того чтобы определить вызванные волной колебания в некоторой точке Р, нужно, по Френелю, определить колебания, вызываемые в этой точке отдельными вторичными волнами, приходящими в нее от отдельных элементов поверхности S, и затем сложить эти колебания с учетом их амплитуд и фаз. При этом следует считать, что в точке Р сказывается влияние только той части волновой поверхности S, которая не загораживается каким-либо препятствием.
426
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Проиллюстрируем применение принципа Гюйгенса — Френеля на следующем примере. Пусть на непрозрачную преграду с круглым отверстием падает слева плоская монохроматическая волна (рис. 2.2). Такую волну можно
Рис. 2.1. К расчету дифракции на основе принципа Гюйгенса — Френеля.
р
1 1 1 --L -9-
\ : !
Рис. 2.2. Падение плоской монохроматической волны на преграду с круглым отверстием.
получить, например, от точечного источника монохроматического света, удаленного на бесконечность или помещенного в фокус собирающей линзы большого диаметра. Будем интересоваться освещенностью экрана в точке Р, находящейся на оси симметрии. Для учета интерференции вторичных волн Френель предложил мысленно разбить волновую поверхность падающей волны в месте расположения преграды на кольцевые зоны (зоны Френеля) по следующему правилу, расстояния от краев соседних зон до точки Р (рис. 2.3) должны отличаться на половину длины волны, т. е.
/, = 1 + 1- l, = L + 2\, ..., lk = L+k±. (2Л)
Если смотреть на волновую поверхность из точки Р, то зоны Френеля будут выглядеть так, как показано на рис. 2.4. Из рис. 2.3 легко найти радиусы зон Френеля:
= У kXL + P^-i&VkXL. (2.2)
Видно, что радиус k-й зоны пропорционален j/fe, если kX/L-^i 1. При выполнении этого условия площади зон Френеля можно считать одинаковыми. Результат интерференции вторичных волн в точке Р, как мы увидим ниже,
$2. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
427
определяется тем, сколько зон Френеля открывает круглое отверстие на волновой поверхности.
Предположим, что отверстие в преграде представляет собой диафрагму, диаметр которой можно изменять. Пусть сначала радиус отверстия много меньше радиуса первой зоны Френеля. Тогда можно считать, что колебания от
всех точек волновой поверхности в этом маленьком отверстии приходят в точку Р практически в одинаковой фазе. Изобразим колебание поля в точке Р, вызванное этой вторичной волной, с помощью векторной диаграммы (рис. 2.5, а). Этому колебанию на ней сопоставляется вектор ДАх, который вращается с угловой скоростью со, равной циклической частоте падающей волны, в направлении против часовой стрелки. Увеличим отверстие диафрагмы еще немного, так чтобы площадь его удвоилась. Колебания, приходящие в точку Р от вновь открытого участка волновой поверхности, несколько отстают по фазе и изображаются на диаграмме вектором ДЛ2. Длина этого вектора равна длине вектора ДАи так как равны между собой площади соответствующих им участков волновой поверхности. Продолжая увеличивать отверстие диафрагмы, будем откладывать на диаграмме векторы, соответствующие приходящим в точку Р колебаниям от вновь открываемых участков волновой поверхности. Колебаниям, приходящим в Р от участка, прилегающего к границе первой зоны Френеля, будет соответствовать вектор Д А„, повернутый относительно AAi на л, так как, согласно определению зон Френеля, разность хода соответствующих им вторичных волн равна к/2.
428
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Результирующее колебание в точке Р, создаваемое волной, которая прошла через круглое отверстие, совпадающее с первой зоной Френеля, изображается вектором Ах, равным сумме векторов ДЛ,- (рис. 2.5, а). Будем увеличивать отверстие диафрагмы дальше. Когда на нем будут умещаться две первые зоны Френеля, векторная диаграмма
колебаний в точке Р примет д вид> изображенный на рис.
2.5,6. При строгом равен-'у ^ стве амплитуд складывае-
\ t * мых колебаний ДЛ(- ампли-
j туда результирующего ко-
Ч/ лебания Ла должна была лбы равняться нулю, т. е.
ДАг да„ вторичные волны при двух
в) открытых зонах Френеля Рис. 2.5. Расчет амплитуды резуль- полностью гасили бы друг тирующего колебания в точке Р ДРуГа в точке Р Однако с помощью векторных диаграмм: „ '
а) в отверстии укладывается одна действие даже одинаковых зона Френеля, б) две зоны Френеля. ПО площади участков ВОЛНОВОЙ поверхности в точке Р несколько убывает по мере увеличения угла <р между направлением на точку Р и нормалью к волновой поверхности (рис. 2.1). Поэтому в действительности амплитуда А а имеет конечное, хотя и очень малое значение.
Таким образом, освещенность экрана в точке Р, пропорциональная квадрату амплитуды результирующего колебания, будет по мере увеличения отверстия круглой диафрагмы меняться не монотонно. Пока открывается первая зона Френеля, освещенность в Р увеличивается и становится максимальной при полностью открытой первой зоне. По мере открывания второй зоны Френеля освещенность убывает и при подлостью открытой второй зоне уменьшается почти до нуля. Затем освещенность будет увеличиваться снова, и т. д. Эти на первый взгляд парадоксальные результаты, предсказываемые на основе принципа Гюйгенса — Френеля, находятся в хорошем согласии с экспериментом. Подчеркнем, что они находятся в вопиющем противоречии с предсказаниями геометрической оптики, согласно которой при падении плоской волны освещенность в точке Р, лежащей на оси круглого отверстия, не зависит от диаметра отверстия.
