Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, параметры, характеризующие распространение волн в стержне,— это Е, р, К. Напомним размерности этих величин:
[E]^ML-%T~\ [р ] = ML-», 0] = L. (13.1)
Легко убедиться, что из этих параметров безразмерную комбинацию составить невозможно. Действительно, размерность модуля Юнга Е содержит время, которого нет в размерностях остальных величин,— значит, модуль Юнга
40Й
ВОЛНЫ
не может входить в безразмерную комбинацию. Но из двух оставшихся величин р и X также нельзя составить безразмерную комбинацию, так как в размерность р входит масса, а в размерность X — нет.
Составим из Е, р и X величину, имеющую размерность скорости:
и = СЕхрУХ*. (13.2)
Этому выражению соответствует следующее равенство размерностей:
ЬТ-' = (МЬ-хТ-')*(ML~3)у L*. (13.3)
Система уравнений для нахождения х, у и г имеет вид ' L — х—3 у + z = 1,
Т — 2х = — 1, '
М х 4- у = О,
откуда х=?л,у=—Уг, z=0. Итак, согласно (13.2) выражение для скорости волн и имеет вид
и = С ]/у. (13.4)
Мы видим, что, как и при динамическом рассмотрении, скорость волн не зависит от длины волны. Метод размерностей, разумеется, не дает возможности определить значение численного коэффициента С, но дает правильную зависимость скорости волн от свойств среды.
Перейдем теперь к волнам на воде. Возможность распространения волн на поверхности воды обусловлена действием поля тяжести и сил поверхностного натяжения. Роль этих сил различна для воли разной длины: для достаточно коротких волн, когда кривизна поверхности жидкости велика, преобладающими являются силы поверхностного натяжения, а в случае длинных волн этими силами, наоборот, можно пренебречь. В первом случае волны на воде называются капиллярными и представляют собой мелкую рябь. Во втором случае волны называются гравитационными. Эти случаи следует рассматривать отдельно.
Начнем с капиллярных волн. Параметрами, от которых может зависеть скорость таких волн, являются коэффициент
$13. ВОЛНЫ НА ВОДЕ. ДИСПЕРСИЯ
поверхностного натяжения а, плотность воды р и длина волны X. Размерность а есть МТ~'1. Опять легко видеть, что безразмерную комбинацию из ст, р и X составить нельзя. Составляем из сг, р и X комбинацию, имеющую размерность скорости. Обозначив скорость капиллярных волн через можем написать
и,, = СахрУкг. (13.5)
Соответствующее (13.5) равенство размерностей имеет вид
LT-'^iMT-yiML-tyL*. (13.6)
Приравнивая показатели степенен при L, Т и М, находим: .V ) 2, г/=г=—1/2. Поэтому
„„-Cj/i. (13.7)
Точная динамическая теория дает для С значение, равное У 2 л.
Скорость распространения капиллярных волн оказа-
лась зависящей не только от свойств среды, характеризуемых поверхностным натяжением а и плотностью р, но и от длины волны X. Значит, для капиллярных волн имеет место дисперсия.
Рассмотрим теперь гравитационные волны. Так как обычно это волны большого масштаба, то естественно
предположить, что их скорость может зависеть и от глубины водоема h. Поэтому параметры, определяющие скорость распространения гравитационных волн на поверхности воды ug, суть g, р, X, h. Из этих величин, как легко убедиться, можно составить только одну независимую безразмерную комбинацию X/h. В выражение для скорости волн не может входить величина р, ибо ее размерность содержит массу, которой нет в размерностях остальных величин. Это и понятно, так как и вызывающая колебания воды сила тяжести, и инертные свойства воды пропорциональны одной и той же величине — ее плотности. Итак, выражение для скорости ug имеет вид
(13-8)
где / — произвольная функция безразмерного параметра X/h, вид которой не может быть определен из соображений
403
волны
размерности. Как обычно, вид функции f несложно установить в предельных случаях с помощью дополнительных физических соображений. Ясно, что на очень глубокой воде, когда k^.h, скорость волны не может зависеть от глубины водоема. Поэтому f(k/h) в этом случае стремится
Рис. 13.1. Скорость волн на поверхности воды.
к некоторой постоянной величине С и выражение (13.8) принимает вид
Ug = CVgK, x<^h. (13.9)
Динамическая теория дает для С значение, равное (2л)-‘''«. Видно, что для гравитационных волн на глубокой воде,
как и для капиллярных волн, имеет место дисперсия,
хотя зависимость скорости от длины волны в этом случае иная. В другом предельном случае — волны на очень мелкой воде, когда h-^k,— скорость распространения волны не должна зависеть от длины волны. Поэтому из (13.8) следует, что f(k/h) для волн на мелкой воде должна содержать Vк в знаменателе: / (k/h) — С \/'h/k. Выражение для скорости волн ug принимает вид
