Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
§12. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН. ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА 397
Аналогом конуса Маха в оптике является черенковское излучение, возникающее при движении заряженных частиц в веществе со скоростью, превышающей скорость света в этой среде.
Из рис. 12.4 видно, что при движении источника монохроматических воли длина излучаемых по разным направлениям волн различна и отличается от длины волны, которую испускал бы неподвижный источник. Если считать
промежуток времени т равным периоду колебаний Т—2л/о», то сферы на рис. 12.4 можно рассматривать как последовательные гребни (или впадины) волн, а расстояние между ними — как длину волны, излучаемой в соответствующем направлении. Видно, что длина волны, излучаемой по направлению движения источника, уменьшается, а в противоположном направлении — увеличивается. Понять, как это происходит, помогает рис. 12.8: источник начинает очередной период излучения волны, находясь в точке О, и, двигаясь в том же направлении, что и волна, заканчивает период, находясь в точке О,. В результате длина излученной волиы V оказывается меньше, чем Х~иТ, на величину vT:
к' = к—vT = (u—о)Т = ~ . (12.6)
Неподвижный приемник, регистрирующий эти волны, будет принимать колебания с частотой v', отличной от частоты колебаний источника v:
Эта формула справедлива как в случае приближения источника к неподвижному приемнику, так и в случае
398
волны
удаления. При приближении скорость источника v берется с положительным знаком, при удалении — о отрицательным. Если источник движется с дозвуковой скоростью, т© при приближении частота принимаемого звука выше, а при удалении — нияЦ чем при неподвижном источнике. Такое изменение высбты звука легко заметить, слушая звук гудка проносящегося мимо поезда или автомобиля. Если скорость приближения источника звука к приемнику стремится к скорости звука, то, согласно (12.6), длина волны %' стремится к нулю, а частота v' — к бесконечности.
Если v больше и, то сначала мимо приемника промчится источник и только потом придут созданные им при приближении звуковые волны. Эти волны будут приходить в обратной последовательности по сравнению с тем, как они излучались: волны, излученные раньше, придут позже. В этом смысл отрицательного значения частоты , получаемой из формулы (12.7) при v>u.
Изменение частоты колебаний, регистрируемых приемником, происходит и в том случае, когда источник волн неподвижен в среде, а движется приемник. Если, например, приемник приближается к источнику со скоростью v„^ то его скорость относительно гребней волн равна Поэтому регистрируемая им частота колебаний v' равна
v' = —Y^ = —(12.8)
Эта формула справедлива и при удалении приемника от неподвижного источника, только скорость ипр нужно взять с отрицательным знаком. Если приемник удаляется от источника со сверхзвуковой скоростью, то он догоняет ранее испущенные волны и регистрирует их в обратной последовательности.
Явление изменения частоты принимаемых волн при движении источника или приемника относительно среды называется эффектом Допплера.
Эффект Допплера имеет место также и для электромагнитных волн. Однако в отличие от звуковых волн, где изменение частоты по-разному зависит от скорости приемника и источника относительно среды, для электромагнитных волн в вакууме эффект Допплера определяется только их относительной скоростью,
§13. ВОЛНЫ НА ВОДЕ. ДИСПЕРСИЯ
399
§ 13. Волны на воде. Дисперсия и групповая скорость
Во всех рассмотренных нами примерах распространения волн отсутствовала дисперсия: скорость распространения волн не зависела от длины волны. При отсутствии дисперсии возмущение любого вида, которое можно представить как суперпозицию монохроматических волн разной длины, распространяется с такой же скоростью, как и монохроматическая волна, и при этом не меняет своей формы.
Как уже отмечалось, волны на поверхности воды представляют собой более сложный пример волнового движения, чем рассмотренные выше упругие волны в натянутой струне или в однородной упругой среде. Сложность волн на воде проявляется уже в том, что скорость их распространения зависит от длины волны. Непосредственное вычисление скорости таких волн на основе законов динамики затруднительно, поэтому мы попробуем применить для этой цели метод анализа размерностей.
Прежде всего применим этот метод для нахождения скорости волн в уже рассмотренном нами примере распространения продольных волн в бесконечном упругом стержне. От каких свойств стержня она может зависеть? Очевидно, от его упругих свойств, характеризуемых модулем Юнга Е, и от инертных свойств, характеризуемых плотностью материала стержня р. Как мы уже знаем из динамического рассмотрения, скорость волн не зависит от длины волны К. Но если бы мы сейчас впервые приступали к решению такой задачи, то должны были бы допустить возможность такой зависимости. Можно было бы допустить и зависимость скорости волн от их амплитуды, однако для волн малой амплитуды, когда А<такой зависимости нет. Только такие волны мы и будем рассматривать.
