Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
хз — / (xz), • ¦ • Точки пересечения графика на рис. 7.29 с биссектрисой определяют неподвижные точки преобразования, т. е. точки, преобразующиеся в себя. Такими точками на рис. 7.29 являются точки М* и М*. При этом
jj*
точка М1 является неустойчивой, а точка М% — устойчивой, поскольку точки, близкие к точке М*, преобразуются согласно диаграмме рис. 7.29, отдаляясь от точки Mt, а точки, близкие к М*,— напротив, приближаясь к ней.
Замкнутой ломаной Ау, By, А2, ¦ ¦ •, Ат+у = А1 соответствует цикл m-кратных неподвижных точек. При т = 1 замкнутая ломаная Alt By, А2 = Ау превращается в точку пересечения графика с биссектрисой и соответствует однократной неподвижной точке. На рис. 7.30 изображена замкпутая ломаная с т = 2. Она соответствует двум двукратным неподвижным точкам хх и хг таким, что / (ху) — х2, } (х\,) = х-у. Цикл неподвижных точек хг и х2 устойчивый, поскольку ломаные линии, близкие
к соответствующей этому циклу замкнутой ломаной, к ней приближаются. При произвольном т замкнутой ломаной Ay, By, . . . , Ат+у н= Ау отвечает т кратных различных неподвижных точек х*, х*,. . Хт, связанных соотношениями
f(xt) = x*, f(x$) = x3,...-, f(xm) = xt- (7.41)
Непосредственно, ясно, что то-кратная неподвижная точка отображения Т является однократной неподвижной
274
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
точкой т-й степени отображения Т, т. е. отображения Тт. Обратное не совсем верно, поскольку неподвижными точками отображения Тт могут быть не только яг-кратные неподвижные точки, но и однократные, и точки, кратность которых является делителем числа т.
Как известно, условие устойчивости однократной неподвижной точки х* состоит в выполнении неравенства
I f'(x*) | < 1, а неустойчивости — неравенства | f'(x*) |
1. Для /тг-кратной неподвижной точки условия устойчивости и неустойчивости соответственно имеют вид
| /'(*?) . . . /'(4) | < 1 И I f{xt) . . . /'(**) I > 1.
(7.42)
Как известно, устойчивым (неустойчивым) неподвижным точкам отображения, простым и кратным, соответствуют устойчивые (неустойчивые) периодические установившиеся движения соответствующей динамической системы. Поэтому изучение точечного отображения предполагает, в первую очередь, отыскание и исследование устойчивости его неподвижных точек. Затем непосредственный интерес представляют области притяжения неподвижных точек. В некоторых случаях на этом исследование и заканчивается, поскольку вся прямая разбивается на некоторое число областей притяжения различных устойчивых неподвижных точек. Именно так обстоит дело для взаимно однозначного отображения.
Взаимная однозначность означает, что каждому значению х, согласно (7.40), отвечает единственное значение ¦X и что ни при каких различных х и у не может иметь места равенство f (х) = f (у). Из этого следует, что функция / (х) монотонно меняется с монотонным изменением х и что, следовательно, для всех х либо f'(x) ^ 0, либо Г(х) < 0.
При изменении х от —оо до -|-оо / (х) изменяется монотонно, меняясь в пределах от / (— оо) = lim / (х) до
Х-*—оО
/ ( + оо) = lim / (х). При этом возможны следующие
Х-* + оэ
случаи: а) / (— оо) = —оо (-|-оо) и / (-|-оо) = -|-оо (—оо), и тогда отображение (7.40) преобразует прямую в прямую; б) одно из значений /(— оо) или /(-foo) конечно, и тогда точечное отображение (7.40) преобразует прямую в полупрямую; в) оба значения / (—оо) и / ( + оо)
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
275
конечные, и тогда отображение (7.40) преобразует прямую в конечный отрезок.
На рис. 7.31 представлен график взаимно однозначного точечного отображения, заключенный между горизонтальными асимптотами л ~ / (—оо) и х, = / (--(-оо). При этом любая точка х прямой преобразуется внутрь отрезка
Рис. 7.31
(/ (—оо), / (—|— оо)), на котором имеются три неподвижные точки: Ху, г* и х*. Неподвижные точки х* и х* — устойчивые, а неподвижная точка х* — неустойчивая. Всякая точка полупрямой (—оо, х*) при последовательных применениях отображения асимптотически приближается к точке х*, а всякая точка полупрямой (х%, + оо) — к точке х*. Таким образом, вся прямая разбивается неустойчивой неподвижной точкой на две области притяжения, П (Xi) и П (х^), устойчивых неподвижных точек * * хх и хг.
Нетрудно убедиться, что разбиение всей прямой на какое-то число областей притяжения устойчивых неподвижных точек имеет место для общего взаимно однозначного отображения с /' (х) 0. Действительно, пусть
. . . < х* < х* < < . . . — точки пересечения гра-
фика точечного отображения с биссектрисой. При этом устойчивые и неустойчивые точки, очевидно, чередуются. Для каждой устойчивой неподвижной точки х* отрезок (a:*-!, :г*+1) будет ее областью притяжения. Совокупность интервалов {xj~i, #j+i) с / = i, i + 2, . . . образует требуемое разбиение.
276
