Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
В последнее время в рамках так называемой абсолютной устойчивости получены практически важные достаточные критерии глобальной устойчивости состояния равновесия. В динамической системе с глобально устойчивым состоянием равновесия все фазовые точки без исключения к нему приближаются. В случае глобально ус-
ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
259
тойчивого периодического движения это не совсем так. Поясняющие примеры приведены на рис. 7.20. На первом из них исключение составляет фазовая кривая, уходящая в бесконечность, на втором — седловая особая точка и две асимптотические к ней фазовые кривые. Подчеркнем, что эта особенность определяется топологией фазового пространства. Так, уже в цилиндрическом трехмерном фазовом
пространстве возможно глобально устойчивое периодическое движение, к которому асимптотически приближаются все без исключения фазовые траектории.
В более сложном случае разных установившихся движений несколько. Соответствующие примеры представлены на рис. 7.21 и 7.22. На рис. 7.21 имеется два установившихся движения: О2’0 и Г2’1. Их области притяжения отделены друг от друга неустойчивым периодическим движением Г4,2. На рис. 7.22 установившимися движениями являются устойчивые состояния равновесия 0\'а и 0\’°, отделенные друг от друга сепаратрисной поверхностью 1S2 седлового состояния равновесия О2а.
Однако возможны и значительно более сложные случаи, когда разделяющая области притяжения граница имеет очень сложный характер. Схема одного из таких случаев представлена на рис. 7.23. На нем Г®’1 и Г®’1 — устойчивые периодические движения. Почти все фазовые траектории идут к одному из них и образуют две области притяжения. Разделяющими эти области притяжения являются се-паратрисные поверхности <S2 и <S2 седлового периодического движения Г2,2. Поведение этих сепаратрисных по-
9*
260
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
верхностей необычайно сложно и не нашло отражения на схематическом рис. 7.23. Чтобы составить о нем некоторое представление, пересечем седловое периодическое дви-
жение Г2-2 секущей поверхностью S и рассмотрим точечное отображение Т, порождаемое на этой секущей S фазовыми траекториями. Точке пересечения Г2’2 с секущей
поверхностью S отвечает неподвижная точка О1'1 отображения Т. Сепаратрисные интегральные поверхности St и i?2 пересекаются с секущей S по сепаратрисным инва-
ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
201
риантным кривым St и S\ седловой неподвижной точки О1’1 отображения Т. В интересующем нас случае инвариантные поверхности St и 57 седлового периодического движения пересекаются. Этому соответствует пересечение кривых St и 57. Наличие этого пересечения влечет очень сложное переплетение сепаратрисиых инвариантных кривых 51 и 57, изображенное на рис. 7.24. Возможность подобной картппки и связанное с ней сложное поведение фазовых траекторий обнаружил А. Пуанкаре [471.
/
Точки пересечения сепаратриспых кривых 5J и 5Х были названы им гомоклиническими. На рис. 7.24 точка М0 пересечения кривых 5Х и 5г — это гомоклиническая точка. Из наличия одной такой точки М0 следует существование бесконечного числа точек пересечения
Mi - гм0 (i = . . ., -1, О, 1, . . .),
а также наличие еще хотя бы одной серии точек пересечения Ni = TlNо (i = . . ., -1, 0, 1, . . .).
Кривые 5i и 5i сложным образом разбивают плоскость на части, образуя некоторую мозаику из областей
• • •> tT-2i 1> CTo.-Oi, . . . и . . <0-1, а>„. ®i> ^2» • • •»
202
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
(ГЛ. 7
а также их пересечений. На рис. 7.24 эти области заштрихованы в разных направлениях. Из рис. 7.24 видно, что при преобразовании Т эти области переходят друг в друга так, что
Taj = ffj+1, Tas — со,+1.
В силу этого, поток фазовых точек (обозначенный на рис. 7.24 стрелкой А) разделяется па идущий вокруг петли ()хлМиОхл п идущий внутрь нее. Часть потока, попавшая внутрь петли, в свою очередь разделяется на поток, идущий к неподвижной точке О2,0, соответствующей устойчивому периодическому движению Г®’1, и выходящий из петли. Потоки, выходящие из петли и обходящие ее, идут к неподвижной точке 01'й, соответствующей периодическому движению Г®’1.
Способ разделения потоков, особенно внутри петли, как видно, необычайно сложный и тонкий, в соответствии со сложностью разделяющей границы. Вместе с тем, несмотря на эту сложность, общая структура фазового пространства проста и сводится к разбиению его на две области притяжения: область притяжения периодического движения
Г^’1 и область притяжения периодического движения Га’* Эти области притяжения довольно сложного вида. До некоторой степени подробности они показаны на рис. 7.25. При этом для различения одна из них заштрихована.
ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
2(13
Согласно приведенным примерам, динамические системы с простейшими установившимися движениями могут иметь простую структуру разбиения фазового пространства на области притяжения, а могут иметь области притяжения очень сложного вида. В приведенном примере сложность области притяжения обусловлена наличием пересечений интегральных многообразий периодического движения и появлением гомоклинического движения. Оказывается, что это обстоятельство имеет общий характер. Как будет видно из дальнейшего, наличие гомоклини-ческой кривой влечет за собой очень сложную структуру фазового пространства и, в частности, наличие бесконечного множества седловых периодических движений. Поэтому можно думать, что у динамических систем с конечным числом состояний равновесия и периодических движений эти сложности не будут иметь места. Оказывается, что это так и есть. Тем самым среди систем с простейшими установившимися движениями выделяется подкласс систем с очень простой структурой фазового пространства: динамические системы с конечным числом состояний равновесия и периодических движений и всеми остальными движениями, асимптотически приближающиеся к ним, как при возрастании, так и убывании времени. Этот класс систем был выделен Смейлом [50—52] и получил название систем Морса — Смейла [27]. Важность и распространенность таких систем позволяют рассмотреть их несколько подробнее. Кроме сформулированных условий предполагается, что все состояния равновесия и периодические движения — общего типа и что их интегральные многообразия пересекаются только общим образом. Фазовое пространство будем предполагать компактным.
