Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
Особые случаи, при которых график может касаться биссектрисы, представляют интерес, поскольку соответствуют бифуркациям точечного отображения. Эти особые случаи можно рассматривать, как возникшие в результате непрерывного изменения точечного отображения и его графика, при котором две или несколько неподвижных
точек сливаются. На рис. 7.32 представлены три последовательные фазы графика при непрерывном его изменении, в результате которого происходит либо возникновение двух новых неподвижных точек, либо, наоборот, две неподвижные точки сливаются и исчезают. Первый случай соответствует непрерывному переходу от а к в через границу 5, а второй, наоборот,— переходу от в через 8 к а.
Рассмотрим теперь взаимно однозначное точечное отображение Т, для которого /' (х) 0. В этом случае гра-
фик точечного отображения пересекается с биссектрисой в одной и только в одной точке х*, которая может быть устойчивой или неустойчивой. Для дальнейшего изучения отображения Т полезно заметить, что отображение Т2 является взаимно однозначным отображением уже рассмотренного типа. Действительно, отображение Г2 записывается в виде
* = / (/ И) = F (х)
и
F'(x)
jL
dx
df
l(x) dx
0.
Неподвижной точке хх Ф х отображения Т2 соответствует цикл двукратных неподвижных точек х* и х* = = / (^i) Ф xi отображения Т.
Этих сведений достаточно для того, чтобы прийти к выводу о том, что в рассматриваемом случае вся прямая разбивается на области притяжения двукратных неподвижных точек и, возможно, одну область притяжения однократной неподвижной точки, если неподвижная точка х* устойчивая.
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
277
Пример точечного отображения, соответствующий рассматриваемому случаю, приведен на рис. 7.33.
На рис. 7.34 и 7.35 изображены фазы двух различных типов бифуркаций взаимно однозначного отображения, для которого f'(x) 0. На рис. 7.34 изображена бифур-
кация, при которой происходит рождение или исчезновение двух циклов из двукратных неподвижных точек. Рис. 7.35 изображает бифуркацию смены устойчивости однократной неподвижной точки, при которой одновременно происходит рождение или исчезновение цикла двукратных неподвижных точек.
Перейдем теперь к рассмотрению значительно более сложного однозначного, но не взаимно однозначного точечного отображения Т прямой в прямую. Все сказанное ранее о неподвижных точках отображения остается в силе. Новое состоит в возможности возникновения очень сложных структур. Причину их появления можно понять, рассматривая обратное отображение Т~1. Именно, допустим, что обратное многозначное отображение Т~‘ расщепляется на ряд непрерывных однозначных отображений 77\ записываемых в виде х — gt (%) (i = 1, 2, . . .), и пусть однозначные отображения с i = 1, 2, . . ., р преобразуют некоторый отрезок [а, Ы в себя. Рассмотрим произведение отображений
. . . Т?Т?, (7.43)
где ilt г2, . . ., im — любые числа от 1 до р. Это отображение определено на отрезке [а, Ъ] и преобразует его в себя, поэтому опо имеет на этом отрезке по крайней мере одну неподвижную точку х[^г..лт- Неподвижная точка произведения отображений является неподвижной точкой Т~т, а следовательно, и Тт. Неподвижной точке Тт соответствует либо простая неподвижная точка отображения Т, либо кратная неподвижная точка, кратность которой является делителем тп. Первый случай может иметь место, только когда — i2 — ¦¦¦= im¦ Неподвижные точки различных отображений (7.43) обязательно разные. В качестве примера рассмотрим отображение Т с графиком, представленным на рис. 7.36. Точечное отображение, обратное отображению Т, многозначное. Участок С0Сг графика определяет взаимно однозначную зависимость х = /х (х), х GE (— оо, а^),
х = Si (*), х е (— оо, яг),
278 М1.Ч)ГОМК1*11ЫК ДИиЛМИЧЕСКНЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
279
где (хг, Ху) — координаты точки максимума Сх. Участки СуС2 и С2С3 определяют взаимно однозначные зависимости х — /2 (х), х — g2 (х), X S (хг, х2), X е (Ху, х2) и соответственно X = /3 (ж), х = g3 (X), х е (ж2, +оо),' Я е (з2, + °°), где (;г2, ^2) — координаты точки минимума С2-В соответствии с этим
igx(x) при JG(-oo,%),
Т~'Х g\ (х), g2 (X), g3 (X) при X <= (Ху, х.2),
U3(х) при + Ч
где каждая из функций gx (х), g2 (х) и g3 (X) в своих областях определения непрерывна.
Обозначим через TJ1 (i — 1, 2, 3) отображение, определяемое зависимостью х — gt (X). Пусть, как это имеет место на рис. 7.36, Ху х2, тогда отображения Ту1 и Т^1 отрезок [0, Хх) преобразуют в отрезок (0, Ху) и, соответственно, в отрезок (ху, х2), которые лежат внутри отрезка [О, Ху). Согласно сказанному ранее, отсюда следует, что любое из отображений вида TimTim-y ¦ • Т^, где каждое из is равно либо 1, либо 2, имеет неподвижную точку xtui2...im.
