Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 86

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 125 >> Следующая


Пусть О™’0, . . ., Г"’1 — устойчивые состояния равновесия и периодические движения, . . ., Гт 11 —

неустойчивые и Oy'q\ . . ., ]'[* >к — оодловые. Окружим каждое из них малыми окрестностями с кусочно-гладкими граничными поверхностями, составленными либо из поверхностей без контакта, либо из кусков интегральных поверхностей. Возможные виды таких поверхностей в трехмерном случае изображены на рис. 7.26, а, б, в. Обозначим границы этих окрестностей для устойчивых и неустойчивых состояний равновесия и периодических движений соответственно через а\, . . ., о? и olt . . ., ат-У седлового состояния'равновесия типа 0\’ м или О"_1,1

ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ

265

имеются четыре граничные гладкие поверхности без контакта: (oii, t»>ti и си^. В трехмерном случае для состояния равновесия типов О1’2 и О2'1 они изображены на том же рис. 7.26. Заметим, что для состояния равновесия 0\'п_1 поверхности a»ii и (0i2 состоят из двух частей гладкой поверхности без контакта, разделенной на две части сепаратрисной интегральной поверхностью Sn-i состоя-пия равновесия б\' "-1. Аналогично в случае равновесия О"-1,1 гладкую поверхность без контакта составляют поверхности (oii и сой- Их разделяет сепаратрисная поверхность Sn-1 состояния равновесия О”-1’1. В случае седло-

р.у q.

вого состояния равновесия типа Oi‘ ‘ (pt, qt ф 1) таких гладких поверхностей без контакта только две: wt и ац.

Аналогичные обозначения (о^, &н+2, (0ц и «Га Для гладких кусков поверхностей без контакта введем для седло-вых периодических движений типов Г?'71-1 и Г"-1'2. Как

— +

и для состояния равновесия, (о^ и и соответственно (Oi^ и (оЙ составляют гладкие поверхности без контакта, разделяемые сепаратрисными поверхностями 5„_i и Sn-i периодических движений и соответственно Г"-3,2.

Трехмерный и двумерный случаи представляют при этом некоторое исключение, и для седлового периодического движения таких гладких кусков поверхности ю восемь (рис. 7.26), что, впрочем, для дальнейшего несущественно.

р-, q*

Для седлового периодического движения IV г (pt Ф2, п — 1) таких гладких поверхностей без контакта будет

+ —

только две: он и (о, .

У рассматриваемой нами системы всякая фазовая точка может находиться вне выделенных нами окрестностей не дольше некоторого конечного времени т. Поэтому фазовые тректории, лежащие вне выделенных малых окрестностей, порождают на их граничных поверхностях некоторые точечные отображения. При этом каждая поверхность аГ, ©Г, w7i или (о7з отображается в какие-то другие поверхности а|, wj", (oji или (0j~2. Отображение, преобразующее, например, точки поверхности о], в (oji, будем обозначать через Т (aj —coji). Таких различных отображений будет конечное число, причем каждое из этих отображений кусочно-гладкоо. Это последнее утверждение
266

МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. 7

следует из существования верхней границы т длительности движения фазовой точки от одной поверхности до другой и из компактности гладких кусков поверхностей без контакта, ограничивающих выделенные нами окрестности состояний равновесия и периодических движений.

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фаиопые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое движение, при убывании времени пересекают поверхность со” (ftHi, а при возрастании времени пересекают поверхность cot (wii, wt2). Тем самым внутри окрестности седлового состояния равновесия или периодического движения фазовые траектории порождают точечные отображения, преобразующие cot (соц, со*о) в соГ (со7ъ соГг). Исключение составляют при этом лишь граничные точки соц и соt-,, принадлежащие инвариантной поверхности Sp.. Таких различных отображений конечное число. Отображение, преобразующее, например, coti в соГ ’ обозначим через Т (coti соТ).

Рассмотрим теперь произвольную фазовую траекторию, и пусть

. . ., х-и х0, xlt х2, ... (7.ЗС)

— последовательные точки пересечения ее с поверхностями без контакта о и со. Любые две последовательные точки этой последовательности связаны между собою одним из отображений Т. В силу того, что любая фазовая траектория при t -+¦ — оо и при ? —»- -f- оо асимптотически приближается к одному из состояний равновесия или периодическому движению, последовательность точек
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed