Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 88

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 125 >> Следующая


Пусть бГ, б?, . . ., б? — окрестности седловых состояний 'равновесия и периодических движений описанного вида, убывающие с ростом номера г. Если требуемое утверждение не выполняется, то существует последователь-
270 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7

ность фазовых траекторий у1, у2, . . . такая, что каждая траектория уг пересекает дважды по крайней мере одну из окрестностей б[, 62, . . ., . Поэтому существует по-

следовательность вложенных друг в друга окрестностей 6i\ б[2, . . ., и последовательность фазовых траекторий 7Г>, У2, . . . таких, что фазовая траектория уri дважды пересекает окрестность бр, а следовательно, и границу окрестности б?', выходя из точки xi и приходя в точку

Рис. 7.28

Xri. Из этой последовательности фазовых траекторий можно выделить в свою очередь подпоследовательность, для которой точки хтз и Хт) имеют предельные х* и х*. Эти предельные точки должны лежать соответственно на интегральных многообразиях S+ и S~ состояния равновесия или периодического движения, окруженного окрестностью 8Г‘- Фазовая траектория, выходящая из точки х*, не может идти в устойчивое состояние равновесия или периодическое движение, так как это имело бы место и для близких траекторий и поэтому они не могли бы проходить в ско'йь угодной близости к точке .?*. Поэтому фазовая траектория, выходящая из точки х*, идет в какое-то седловое состояние равновесия или периодическое движение, окруженное окрестностью 61'. Фазовые траектории рассматриваемой
§3]

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

271

подпоследовательности пересекают ее границу в точках уг1 и у i. Для некоторой подпоследовательности фазовых траекторий эти точки имеют предельные у* и у*. Точки у* и у* лежат на иптегральиых многообразиях S+ и соответственно S~ состояния равновесия или периодического движения, лежащих внутри окрестности 6g‘. Фазовая траектория, выходящая из точки у*, опять не может идти ни в одно устойчивое состояние равновесия или периодическое движение. Продолжая это рассуждение и учитывая, что седловых состояний равновесия и периодических движений конечное число, придем к существованию замкнутого контура, составленного из фазовых траекторий интегральных многообразий седловых равновесий и периодических движений, т. е. цикла. Так как цикла быть не может, то приходим к противоречию, доказывающему требуемое утверждение.

Выше был выделен класс динамических систем, характеризующийся тем, что (почти все) его фазовое пространство разбивается на некоторое конечное число областей притяжения устойчивых состояний равновесия и периодических движепий. При этом роль седловых состояний равновесия и периодических движений и их инвариантных многообразий состояла лишь в том, что они формировали разделяющую границу этих областей. Однако роль седловых периодических движений в структуре фазового пространства может быть и более существенной. Как оказывается, они могут принять участие в формировании установившихся движений, которые будут иметь уже существенно более сложную природу, чем состояния равновесия и периодические движения. Для того чтобы перейти к изучению и описанию этих более сложных установившихся движений, необходимо ознакомиться с некоторыми сведениями из теории точечных отображений и лишь после изложения этих сведений продолжить рассмотрение структуры фазового пространства многомерной динамической системы.

§ 3. Вспомогательные сведения о точечных

отображениях

Как говорилось ранее, метод точечных отображений позволяет свести исследование динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, к рассмо-
272

МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. 7

трению порождаемых ими точечных отображений. Кроме того, исследование точечных отображений представляет и самостоятельный интерес, поскольку с их помощью описываются динамические системы с дискретным описанием изменения во времени.

В настоящем параграфе проводится геометрически наглядное рассмотрение точечных отображений. Рассматривается преобразование прямой в прямую, окружности в окружность, излагается метод неподвижной точки и метод вспомогательных отображений, приводится значительное число примеров точечных отображений, представляющих интерес для качественного исследования дифференциальных уравнений и связанных с ними колебательных явлений.

1. Преобразование прямой в прямую. Преобразование прямой в прямую можно задать формулой

^ = / (*), (7.40)

определяющей точку х, в которую преобразуется точка х. Зависимость (7.40) можно изобразить графически. Если к графику функции / (х) добавить еще биссектрису х = х,

Рис. 7.29

то можно прийти к очень наглядному способу построения последовательных отображений, названному диаграммой Кёнигса—Ламерея [1] и состоящему в построении изображенной на рис. 7.29 ломаной А1,В1, А2, В2, А3, . . абсциссы точек Alt А2, . . . которой представляют собой последовательные преобразования = х, хг = / (а^),
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

273

Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed