Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 11 РАВНОВЕСИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
253
но к,изучению некоторых точечных отображений. Для этого можно поступить следующим образом. На участках фазовой кривой Г, выходящих и входящих в состояние равновесия Op,q, вблизи состояния равновесия выберем
Рис. 7.14
точки М и N. Через эти точки проведем, например, ортогонально к Г секущие S и Q (рис. 7.15). Фазовые траектории, близкие к части кривой Г, заключенной между точками М и N, порождают точечное отображение секущей iSb^, которое назовем L. Кроме того, фазовые траектории окрестности состояния равновесия порождают некоторое отображение секущей Q в S. Это последнее отображение обозначим через Т.
Ясно, что вопрос о переходе двоякоасимптотической кривой Г при изменении параметров в периодическое движение сводится к обнаружению появления неподвижных точек у произведения отображений TL или LT. Такое исследование содержится в работах [61, 62, 39] и позволило обнаружить общие случаи и указать аналитические условия, при которых у этих отображений появляется единственная неподвижная точка, соответствующая возникающему из двоякоасимптотической кривой периодическому движению.
Отметим еще, что эти исследования точечного отображения TL обнаружили не только случаи превращения фазовой траектории, двоякоасимптотической к состоянию равновесия, в периодическое движение, но и более слож-
|Рис. 7.15
254 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
ные бифуркации, изучение которых примыкает к рассмотрению гомоклинических структур, о чем будет довольно подробно в дальнейшем рассказано.
Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях No и N0. Поверхность Na не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для этого требуется пересечение интегральных многообразий Sp и Sq, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности N0 происходит слияние состояний равновесия q и Ор+Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку Op'q проходят интегральные многообразия Sp и Sq и через точку 0+1. д-i — интегральные многообразия iSp+i и Sq_i. Пересечение многообразий Sq и iSp+i является общим. В силу того, что на поверхности N0 состояния равновесия Op<q и Ор+1-9“1 сливаются, до момента этого слияния поверхности Sq и &р+1 в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазовой траектории, идущей из точки Op’q в точку Op+1'q~Ч Однако, кроме этого в общем случае обязательного пересечения, поверхности Sq и ?р+1 в общем случае могут пересекаться и по некоторым другим двоякоасимптотическим кривым Гх, Г2, . . ., Гт. В двумерном случае такая кривая может быть только одна (рис. 7.16), однако уже для трехмерных систем это не так (рис. 7.17). При дальнейшем
РАВНОВЕСИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
255
изменении параметров, соответственно рассматриваемой бифуркации, состояния равновесия Ор'Ч и Ор+ьз-1 после слияния исчезнут и оставят после себя ряд замкнутых траекторий Г15 Г2, . . Гт, т. е. двоякоасимптотические фазовые траектории перейдут после исчезновения сложной особой точки в некоторые периодические движения.
Si
Обосноьание и исследование обстоятельств такого перехода может быть получено путем рассмотрения некоторых точечных отображений. Соответствующие этим точечным отображениям секущие показаны на рис. 7.18 для двумерного и трехмерного случаев.
Описанная бифуркация может быть изображена в виде символической схемы
т
Ov.q + 0+1. <2-1 Q ГГ . (7.34)
i=l
Как п всегда, особый интерес представляет случай бифуркаций с участием устойчивых состояний равновесия и периодических движений. В этом случае р = п — 1. Далее, как нетрудно обнаружить, «пересечение» интегральных многообразий iSi и St. происходит в общем случае по одной кривой и еще, возможно, одной, но не более. Это простое обстоятельство пояснено на рис. 7.19.
Таким образом, с участием устойчивых состояний равновесия или периодических движений возможна только одна (если не различать бифуркаций, отличающихся направлением изменения параметров) бифуркация