Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
*) Имеется в виду, что^ири [i = 0 и А, —* 0 (к > 0) у -* оо.
364
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
ная структура, связанная с наличием гомоклинических точек и тем, что к кривой р~ = 0 снизу прилегает область, в которой точечное отображение Тзя допускает притягивающую кольцеобразную область с бесчисленным множеством разнообразных седловых многократных неподвижных точек.
Проведенное рассмотрение малых неавтономных периодических возмущений автономной системы второго порядка обнаружило естественность появления с переходом от двумерных к многомерным динамическим системам притягивающих гомоклинических структур и, в частности, стохастических синхронизмов.
Таким образом, основное отличие многомерных динамических систем от двумерных состоит в появлении у них нового типа установившихся движений, движений очень сложных, неустойчивых по Ляпунову и имеющих стохастический характер. Можно, не вдаваясь в тонкую структуру этих движений, говорить об их возникновении, переходе друг в друга и в другие более простые установившиеся движения так же, как об этом говорилось ранее. При этом их области притяжения трансформируются непрерывно при мягих переходах и скачком при жестких. Сложным установившимся движениям можно дать при достаточно грубом подходе приближенные стохастические описания в виде некоторых марковских процессов.
§ 6. Заключение
Выше были изложены общие сведения о многомерных динамических системах. Эти сведения неполные и в ряде мест отрывочные. Объясняется это не только краткостью изложения очень сложного вопроса, но и тем, что разработка теории многомерных систем продолжается и далека от завершения. Это прежде всего относится к исследованию хаотических и стохастических колебаний, т. е. того, что является принципиально новым у многомерных динамических систем по сравнению с хорошо изученными и привычными одномерными и двумерными системами.
Открытие хаотических и стохастических движений произошло сравнительно недавно, но уже существенно обогатило наши общие представления о динамических системах и описываемых ими эволюционных процессах. Велико влияние этого открытия и на наши общие глу-
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
365
бинные представления о детерминированном и случайном. Еще совсем недавно случайное было отделено высоким забором от детерминированного, а случайные колебания детерминированных динамических систем рассматривались и изучались только в плане внешних случайных возмущений. Сейчас после открытия хаотических и стохастических движений детерминированных динамических систем нельзя отрицать, что не только случайное может порождать закономерное практически детерминированное поведение, но и детерминированное поведение может приводить к случайности. Ранее такая возможность признавалась в молекулярной физике и объяснялась непостижимо большим числом частиц. Как оказалось, это не так — случайность возможна и в системах малой размерности (большей двух) и даже в системе с одной частицей.
Открытие стохастических и хаотических движений указало выход из тупика в теории турбулентности жидкости, газов и плазмы, привело к обнаружению стохастических и хаотических колебаний в самых разнообразных механических, физических, химических и биологических системах.
Все это сделало открытие хаотических и стохастических колебаний детерминированных динамических систем одной из научных сенсаций нашего времени. Но вместе с тем выяснилось, насколько сложна и многогранна проблема изучения многомерных динамических систем, насколько мало надежд на прежние аналитические методы их исследования. Стало ясно, что не обойтись без численных методов и современных вычислительных машин, без целенаправленных и продуманных математических экспериментов. Для того чтобы проводить такие численные расчеты и математические эксперименты, необходимо знать, что может быть и что с чем связано и как связано. Именно эти необходимые общие сведения дает качественная теория дифференциальных уравнений и возникший и развитый в связи с ней метод точечных отображений.
Каковы же основные общие выводы этой теории? Пожалуй, первый и самый важный вывод — это наличие двух различных тенденций в эволюции динамической системы, которые можно охарактеризовать как порядок и регулярность, с одной стороны, и хаос и стохастичность,— е другой. Порядок и регулярность имеют своим адек-
366
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
ватным образом устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Возникновение порядка и регулярности имеет в своей основе устойчивость. Устойчивость делает необходимым приход всякого ограниченного движения к состоянию равновесия или периодическому движению. У систем с размерностью меньшей трех устойчивость — единственная возможность. Наличие отдельных изолированных неустойчивых движений можно не принимать во внимание. Их роль заключается лишь в разделении устойчивых движений, стремящихся к различным устойчивым состояниям равновесия и устойчивым периодическим движениям. Такая же ситуация может ю'^ъ место в многомерных системах. Выше (§ 2 этой главы) такие многомерные системы' названы динамическими системами с простейшими установившимися движениями. Но в 'многомерных системах размерности большей' двух неустойчивость может11 проявиться не только в плане разделяющих движений, но и в плане порождения хаотических и стохастических движений, в виде притягивающих гомоклинических структур.
