Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Такие образования из неустойчивых движений, в целом образующих притягивающее множество, получили название странных аттракторов — странных притягивающих множеств. Странных тем, что они состоят из неустойчивых экспоненциально разбегающихся фазовых траекторий, но вместе с тем в целом образуют притягивающее множество, к которому асимптотически приближаются все соседние фазовые траектории. Движения в странном аттракторе носят стохастический, случайный характер. Они непредсказуемы и случайны потому, что малейшее неконтролируемое возмущение начальных условий или постоянно действующие возмущения приводят к конечным расхождениям с невозмущенным движением. В силу этого странный аттрактор можно назвать стохастическим аттрактором. Стохастический аттрактор — притягивающее множество, и поэтому в его окрестности происходит сжатие фазового объема. Это необходимое условие.
Притягивающая гомоклиническая структура может породить не только стохастический аттрактор, но и своеобразное сочетание неустойчивых движений с устойчивыми движениями, имеющими очень топкие области притяжения. При этом движения в притягивающей гомоклинической структуре тоже непредсказуемы и слу-
ЗАКЛЮЧЕНИИ
367
чайны, но эта случайность другого рода: она вызывается пусть и очень малыми, но нее же большими некоторого порога возмущениями. Эти непредсказуемость и случайность происходят за счет выходов из узкой области притяжения под влиянием неконтролируемых возмущений. При этом стохастические свойства возникающего движения определяются случайными возмущениями. Отметим, что в предыдущем случае стохастического аттрактора они определялись только самой динамической системой, а случайные малые возмущения могли лишь незначительно их изменить. В силу этих различий установившиеся движения притягивающей гомоклинической структуры, содержащей устойчивые движения с топкими областями притяжения, можно назвать хаотическим аттрактором. Заметим, что достаточным условием тонкости областей притяжения устойчивых периодических движений является достаточно большая длина соответствующих им фазовых траекторий. А свойство притяжения хаотическим аттрактором обусловлено не столько устойчивыми периодическими движениями, сколько множеством седловых неустойчивых движений притягивающей гомоклинической структуры и сжатием вблизи них фазового объема.
Таким образом, притягивающие гомоклинические структуры могут породить как стохастические, так и хаотические аттракторы. Пример стохастического аттрактора может дать система, описанная на с. 284, и система Лоренца (с. 334). Хаотический аттрактор имеет место у квадратичного точечного отображения прямой в прямую вида X = ах (1 — х) (при а = 4 оно было рассмотрено на с. 279—281), а также в неавтономных нелинейных системах второго порядка, например, вида
ср + 26ф + (v + (х sin t) sin ф = О
и других.
Различение хаотических и стохастических колебаний при нахождении их с помощью ЭВМ весьма затруднительно, так как и в том и в другом случае получается сложная, спутанная в клубок фазовая траектория.
Следующим важным моментом в изучении многомерных динамических систем являются закономерности зависимости фазовых траекторий и фазового портрета от параметров или, короче,— теория бифуркаций. Теория бифуркаций простейших установившихся движена г —
368
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
состояний равновесия и периодических движений — носит законченный характер. Во всяком случае, все основные бифуркации состояний равновесия и периодических движений изучены. Они были изложены выше (§ 1 этой главы). В отношении стохастических и хаотических аттракторов этого сказать нельзя. Многое известно, но многое и неизвестно. Кроме того, все настолько сложно, что с прежней полнотой едва ли может быть изучено. Так что, по-видимому, от отой полноты изучения придется отказаться.
Прежде всего интересно, как возникают хаотические и стохастические аттракторы, как они могут меняться и исчезать. В общих чертах возникновение хаотического и стохастического аттракторов является проявлением неустойчивости и притягивающей гомоклинической структуры. При этом какие-то существовавшие ранее устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения должны потерять свою устойчивость или исчезнуть. Однако возможно и жесткое возникновение хаотических и стохастических колебаний. Именно такую возможность демонстрирует рис. 7.38. Здесь появление стохастического аттрактора не сопровождается потерями устойчивости: все движения и до этого были неустойчивые. Относительно хорошо изучено возникновение притягивающей гомоклинической структуры и стохастического аттрактора у уравнения Лоренца (с. 334), несколько хуже — хаотического аттрактора от петли сепаратрисы седловой неподвижной точки (п. 8 § 5 этой главы), хорошо изучен и очень прост широко известный механизм хаотизации и сохастизации движений в результате бесконечной серии бифуркаций удвоения периода устойчивого периодического движения. При каждой бифуркации этой серии устойчивое периодическое движение теряет устойчивость и одновременно рождает устойчивое периодическое движение удвоенного периода (см. с. 249—250), в результате чего период единственного устойчивого движения неограниченно возрастает, что приводит к хаотизации и стохастизации движений в его окрестности. Для последовательных значений
