Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 116

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 125 >> Следующая


как на рис. 7.123, б и 7.117 с X 0, при р+ 0 '> р~ —

как на рис. 7.123, в.
360

МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. 7

Перейдем к некоторым выводам, которые можно сделать из гладкой зависимости р+ и р~ от параметров к и (л. В силу предположений: при [х = 0 и А > 0 р+ > р" > 0 и при ц — 0 и Я 0 р ^ р+ 0. Поэтому через точку [х = к — 0 проходят две кривые р+ = 0 и р~ = = 0 со взаимным расположением друг относительно друга, показанным на рис. 7.124. Кривые р- — 0 и р+ =? 0 разбивают окрестность точки к = [х = 0 на три области:

чена касающимися кривыми р =¦ 0 и р+ = 0.

Выше была рассмотрена зависимость поведения сепаратрисных кривых Si и Si седловой неподвижной точки точечного отображения Т-2Л от параметров.

Перейдем к дальнейшему исследованию точечного отображения Узя. При р. = 0 в окрестности петли сепаратрис Si = Si оно было изучено. При этом изучение свелось к рассмотрению преобразования прямой в прямую. В области D~+ между кривыми р_ = 0 и р+ = 0 (рис. 7.124) се-наратрисные кривые пересекаются, образуя гомоклини-ческую структуру. Отображение !'¦>„ в атом случае рассматривалось ранее в § 4. На криых (Г — 0 н р1- = 0 имеет место касание сепаратрисных кривых.

Рассмотрим отображение 7'2Я в случаях таких касаний и к ним близких. Случай касания изображен на рис. 7.125. Для исследования точечного отображения Т2Я в случае, близком к изображенному на рис. 7.125, прибегнем к методу вспомогательных отображений. Сепаратрисные кривые вблизи седловой неподвижной точки О примем за оси координат и и и. Точки М и N выбираем достаточно близко к точке О (рис. 7.125). Точка М преобразуется в точку N некоторой степенью отображения Гзя. Обозначим это отоб-

л 7.123, б. Из рис. 7.124

D++,D~^ и D~~ в зависимости от знаков величин р~ и р+. В области D++ имеет место случай рис. 7.123, а, в области D~+ — рис. 7.123, вив области D~ — рис.

Рис. 7.124

следует, что область D~+, в которой происходит пересечение сепаратрис (на рис. 7.124 она заштрихована), ограни-
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ

ЗГг1

ражение через L. Для точек М и N, изображенных па рис. 7.125,— это Т1 л. В соответствии с поведением сепаратрис окрестность точки М, изображенная на рис. 7.126, преобразуется в подковообразную область б (М), показанную на том же рисунке. При п > п* отображение Тп тонкую полоску е вдоль оси и, изображенную на рис. 7.127, преобразует в полоску Р„, расположенную вдоль оси и. Найдем и соответствии с этим вспомогательные отображе пия L и Т.

Вспомогательное отображение L двузначно, и область т, показанную на рис. 7.128, преобразует в некоторую окрестность т точки с координатами (ий, v0), если точки М и N имеют координаты (0, v0) и (м0, 0) соответственно. Вспомогательное отображение Тп преобразует область G в область Пп, примыкающую к началу координат. При этом окрестность т" преобразуется в зависимости от числа п в области vn (рис. 7.129). В зависимости от величины а последовательности этих областей v„ для возрастающих целых чисел п 1.^- п* уменьшаются и асимптотически приближаются к началу координат по-разному, как это показано на рис. 7.130.

Рассмотрим теперь произвольную последовательность точек

. . . (и_1, V.]), ?_,), (u0,v0),(un,v0), . . ., (7.120)

связанных соотношениями

(щ,щ) -= TUl (uuvi) (п > тг*),

(Ui +1, Уь-ц) “ L (Uii Ui)i

и такую, что

(Ui,Vi) 8, (uuv{) б(М).

Сказанное можно записать в виде схемы

. . . U ;j ¦ > И I _j -• lii ' Hi ' • • *

о которой стрелки указывают связи, определяемые вспомогательными отображениями L и Тк'1 и условиями

(ui-i, vu.i) 6Е G, (Bi_i, i^i-i) 6Е т. (7.124)

(7.121)

(7.122)

(7.123)
362

МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ |ГЛ. 7

V.IЦ

Рис.. 7.125

М

d(M)

N''-' Lt>1*

Рис. 7.12(1

Рис. 7.128

Рис. 7.129

Рис. 7.130
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ

363

Выполнение этих требований заведомо невозможно, если хотя бы для одного i

v„. $т. (7.125)

Этот случай имеет место, как следует из рис. 7.128 и 7.130, при о 1. Поэтому в этом случае последовательностей (7.120) не существует. Этот вывод естественно предполагает, что полоска е достаточно тонкая. Напротив, при о <

1 такие последовательности заведомо существуют, поскольку существуют схемы (7.123) без соблюдения требуемых их стрелками связей, но удовлетворяющие условиям (7.124) и продолжающие удовлетворять этим условиям при применении в них последовательно всех преобразований Z и затем T1li.

Таким образом, при о 1 имеется бесчисленное множество последовательностей вида (7.120) при .сколь угодной тонкости полосы е.

Изложенные выше соображения позволяют получить более полные результаты. С ними можно ознакомиться по работам [21, 22].

Подведем некоторый итог. Ради определенности пусть для рассматриваемого нами седлового равновесия при |х = 0 и X — 0 седловая величина о < 1. Тогда при возрастании X вдоль оси |х ~ 0 появится устойчивый предельный цикл с некоторой областью притяжения. Исходя из точки X > 0, |х = 0, будем увеличивать jx. При этом предельный цикл превратится сначала в устойчивый обычный синхронизм. Затем он трансформируется в стохастический синхронизм. При этом область притяжения предельного цикла последовательно будет переходить в область притяжения обычного и стохастического синхронизмов и затем по пересечению границы р~ = Ов область притяжения какого-то нового установившегося движения. Структура разбиения плоскости параметров X, в окрестности точки X — ц = 0 очень сложная. Достаточно заметить, что при монотонном изменении X в сторону возрастания вдоль оси |х = 0 число вращения у монотонно убывает от значения *) у — оо. Сказанное основывается на предположении об общем характере бифуркаций и полученных ранее сведениях о точечном отображениит Т2П, согласно которым между кривыми р_ = 0 и р+ = 0 имеет место слож-
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed