Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
касание (см. рис. 7.110). По второму — в результате нарушения гладкости тороидального интегрального многообразия синхронизма и последующего слияния седел и узлов (рис. 7.111 и 7.114).
Рис. 7.117 8. Бифуркация от сепарат-
рисы седла. Перейдем к рассмотрению малого неавтономного возмущения автономной системы, описываемой уравнениями (7.103), с сепаратрисой, идущей из седла в него же. Предварительно опишем бифуркацию, возникающую при малом автономном возмущении, изученную в работах А. А. Андронова и Е. А. Леоптович [5].
На рис. 7.117 изображено седло О1’1 с сепаратрисой, идущей из седла в седло. Эта картинка имеет место при к = = 0. Нас интересует, что будет при непрерывном изменении к. Для выяснения этого вопроса пересечем ортогонально сепаратрису вблизи от седла О1,1 двумя отрезками М vl N ш введем на них координаты и и v так, чтобы в точках пересечения с сепаратрисами, выходящими из седловой точки О1’1 и и соответственно v равнялись нулю. Положительные направления отсчета выберем внутрь петли сепаратрисы, как показано на рис. 7.117. При малом изменении параметра к сепаратриса уже не будет идти из седла в седло. Примем, что при А^>0 и соответственно к 0 имеют место поведения сепаратрисы, показанные на рис. 7.118.
Фазовые траектории, близкие к седлу и сепаратрисам, порождают точечные отображения Т и L отрезка М в N
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
357
и отрезка N в М соответственно. На рис. 7.119 изображены диаграммы точечных отображений Т и L при X = 0. Поведение графика отображения Т в точке и = 0 зависит от седловой величины о, равной а — exp (а + P)i где а и р — характеристические корни седлового равновесия О1*1.
Л>0
Рис.
При и>1 и соответственно а 1 график отображения Т касается координатной оси v или и. График отображения L в общем случае имеет в точке v = 0 производную, отличную от 0 и оо. При малом изменении X диаграмма рис. 7.119 изменится, как показано на рис. 7.120.
Как видно из этих рисунков, в случае о < 1 при возрастании параметра X от X = 0 происходит рождение устойчивого периодического движения Г, в соответствии с чем при X 0 фазовые траектории располагаются так, как это показано на рис. 7.121.
При а 1 при обратном изменении X рождается неустойчивый предельный цикл.
Теперь рассмотрим, что произойдет при неавтономном возмущении сепаратрисы, идущей из седла в седло, что соответствует переходу от системы
(7.103) к системе (7.104). В этом случае следует заменить рассмотрение фазовых траекторий
дифференциальных уравнений рассмотрением инвариантных кривых точечного отображения плоскости т = 0 в себя и рассматривать картинки на рис. 7.117 и 7.118 как изображения поведения последовательных итераций этого точечного отображения при (х = 0.
Подлежащее изучению точечное отображение Т 2J[ ПО-рождается фазовыми траекториями дифференциальных
358
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
уравнений (7.104). Поэтому точечное отображение 7\п зависит от параметров А н ц. причем при |х = 0 оно порождается фазовыми траекториями автономной системы, которая при X = 0 имеет идущую из седла О1*1 в него же сепаратрису Si = Sf.
При гладкой зависимости правых частей уравнений
(7.104) от параметров Я и ц и переменных х и у точечное
отображение Тгп и сепаратрисные кривые и ^ также гладко зависят от параметров X и jj, и сами кривые si и 5Г являются гладкими.
Пусть ^ = А = 0 и /га — отрезок прямой, ортогонально пересекающий сепаратрису Sx в некоторой точке М, близкой к седловой точке О1’1. Отображение Т2П преобразует отрезок тп в некоторый отрезок кривой гп, а точку М —
в некоторую точку М (рис. 7.122). Точки М и М будем рассматривать как точки сепаратрисы Si и как точки совпадающей с ней сепаратрисы S\. При изменении параметров X и (.1 первые от седла О1’1 точки М+ иМ" пересечения сепаратрис Si и Si с отрезком m уже не будут совпадать.
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СТОХАСТИЧНОСТЬ
359
Также не будут совпадать и первые от седла точки пересечения М+ и М~ сепаратрис Sx и S±_c отрезком т. При этом очевидно, что М+ = Т.1ЛМ+ и М~ = Т2ЛМ~. Точки М~, М~, М+ и М+, как и отрезки Sf и 5Х заключенных между ними сепаратрис Sx и ?1, зависят от параметров fi и Я гладко. Для любой точки Р, близкой к отрезку Sx (5i) и лежащей между шит, можно ввести понятие расстояния до этого отрезка
р(Р, S+) = minp(P, Q). (7.118)
<?<=s+
Примем, что это расстояние положительно или отрицательно в зависимости от того, по какую сторону от сепаратрисы Si (Si) лежит точка Р. Введем величины р+ и р_ согласно формулам
р+=шах р(Р, 5+), p~ = min р(Р, 5+). (7.119)
PeS- Pes-
Величипы р+ и р_ определяют взаимное расположение сепаратрис S1 и Sj. Именно, при р+ = р" = 0 сепаратрисы S~ и S+ совпадают. При р+ > р- О они расположены,
Рис. 7.123
как на рис. 7.123, а и 7.118 с Я 0, при р“ р+ 0 —
