Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Gr | физ) =0, г > 0, (3.50)
.Р„|физ)=0, п> 0. (3.51)
Условия массовой поверхности имеют вид
(10-4)|физ) = 0 (NS), (3.52)
F0^H3) = 0 (R). (3.53)
В действительности этот метод был использован в одной из попыток построить новые струнные модели [17]. Можно построить расширенную суперконформную симметрию, в которой суперкалибровочные генераторы Gr, Fn преобразуются как векторы по группе SO(N). Таким путем получается бесконечный набор расширений алгебры Вирасоро. Эти алгебры сами по себе довольно интересны. Они включают, например, генераторы алгебры Вирасоро, суперкалибровочные генераторы, а также генераторы алгебры Каца — Муди. Однако лишь одна из таких алгебр соответствует струнной модели, не содержащей духов, — это SO (2)-расширение [18]. К сожалению, критическая размерность в этом случае равна 2, поэтому трудно найти применение такой модели в физике.
Глава 4 Суперструны
В предыдущей главе мы ввели антикоммутирующие степени свободы, чтобы сократить вклад коммутирующих координат в флуктуации вакуума. Такие степени свободы преобразуются по векторному представлению группы SO(d — 2). В случаях, когда d = 3, 4, 6 и 10, мы могли выбрать также минимальное спинорное представление, так как оно имеет такую же размерность, как векторное представление. Поскольку SO(d — 2) — компактная группа, в скалярном произведении двух спиноров индексы свернуты так же, как в скалярном произведении векторов (напомним, что в гл. 3 использовалось только скалярное произведение векторов). Для спинорного представления мы можем проделать построение, аналогичное проведенному в гл. 3. Для этого выполним замену
Ялг'->5ла, (4.1)
где А — по-прежнему индекс двухкомпонентного спинора, a a — индекс (d — 2)-компонентного спинора. Такая замена приводит к теории суперструн, первоначальная формулировка которой обсуждалась в предыдущей главе.
Действие в теории суперструн задается в виде [40]
Я
s==~~h:\dx<\da ['naP(3<x*t‘Vt + 2'sapadasa]. (4.2)
о
Мы знаем, что это действие (в случае открытых струн) приводит к сектору, в котором спектр состояний начинается с безмассо-вых частиц на низшем уровне. В этом секторе решения уравнений движения для спинорных полей разлагаются в ряд:
Si= Е Sane~in(x-a), (4.3)
tl=— ОО
оо
Sl= Z Sane~in{x+a).
П——СО
(4.4)
38
Глава 4
Спинорные поля удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:
т), (а', т)} = л6аЬдАВд(о — а'), (4.5)
{SS, Sbm} = 6n+m,06ab. (4.6>
Операторы S°-n с положительным п являются операторами рождения. Они действуют на бозонное состояние и отображают его в фермионное состояние. Следовательно, этот сектор теории содержит как бозоны, так и фермионы, числа которых на
каждом массовом уровне одинаковы, т. е. состояния на каждом уровне образуют супермультиплеты (ниже это будет доказано) .
Мы знаем также, что в другом секторе, возникающем при выборе граничных условий, соответствующих соотношениям
(3.8) и (3.96), имеются тахионы. Кроме того, разложение в ряд по фермионным осцилляторам будет идти по модам с по-луцелыми индексами, и, следовательно, числа бозонов и фер-мионов на каждом массовом уровне не будут равными. Это в свою очередь приводит к невозможности появления суперсимметрии. Поскольку рассмотренный выше сектор теории уже содержит все, что нам нужно, мы можем просто постулировать, что используются лишь граничные условия (3.8) и (3.9а).
Аналогично для замкнутых струн мы постулируем, что
используются только периодические граничные условия. Это дает следующие решения уравнений движения для фер-мионов:
оо
Sla= Е S'nae-2tnlx-a\ (4.7)
п— —ОО оо
Se= Ё sTe~2in{x+a). (4.8)
ГС— —оо
Теперь нашей задачей будет проверить существование представления алгебры Пуанкаре в такой струнной теории. Оказывается, такое представление существует [41], и удивительный факт заключается в том, что это представление может быть расширено до суперпуанкаре-алгебры. Сначала мы рассмотрим формулировку суперсимметрии в координатах светового конуса [42]. Суперсимметричный заряд Q в десяти измерениях распадается на два SO (8) -спинора—Q+ и Q-, где индексы
