Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
— и15 + «16- Такая корневая решетка не является самодуальной. Но самодуальная решетка может быть получена из корневой решетки путем добавления точек, которые являются муль-типлетами одного из спинорных весов для Spin (32). Мы можем выбрать спинорный вес в виде s, = 1/2 («, — и2 + и3 — и4 + + ... +«15 — Mj6), Sj = 4, а в качестве базисных векторов для решетки Гi6 взять Si и g,-, i = 2, ..., 16. Так как ех — линейная комбинация базисных векторов, решетка Ti6 содержит все точки корневой решетки для SO (32), а также дополнительные точки, соответствующие спинорным весам группы Spin (32) /Z2. Последнее не является тем же самым, что и SO (32). Центр группы Spin (32) — это Z2 X Z2. Устранение диагональной комбинации, состоящей из двух множителей Z2, приводит к исчезновению всех спинорных представлений, и мы получаем SO (32). Если же устранить один множитель Z2, то исчезнет одно из двух спинорных представлений группы Spin (32), а также все представления, находящиеся вместе с ним в одном и том же классе Z2-coпpяжeннocти (включая векторное представление).
Каждая из двух 16-мерных самодуальных решеток имеет 480 векторов с минимальным квадратом длины, равным 2.
Исследуем теперь низшие состояния на основе равенств
(5.9) и (5.10). В суперструнном секторе по аналогии с анализом гл. 4 низшими состояниями являются
I i)r, I a)R.
Гетеротическая струна
5»
Мы должны удовлетворить условию (5.10). Следовательно, низший уровень состоит из состояний
I i)R ® ctLil 0)?, g4, А4, </>,
I г')д ® а-\ | 0)L, 16 векторов,
| i)R ® | р')ь, 480 векторов,
I a)R ® а_, | 0)L, tyal, т|Л
I a)R <g> а7-! | 0)i; 16 спиноров,
I a)R ® | p!)L, 480 спиноров
в обозначениях гл. 4.
Это спектр N = 1 -супергравитации, взаимодействующей с теорией Янга — Миллса, в которой калибровочная группа образуется 496 генераторами.
Наконец, мы должны понять, что произошло с симметрией в компактном 16-мерном пространстве. Фактически уже из работ Френкеля и Каца, Сигала, а также Годдарда и Олива [50] известно, что можно построить представления групп Е&У\Е& и Spin (32)/Z2, привязанных к решеткам Г8ХГ8 и Гie соответственно. С этой целью мы построим оператор Е(К'), который действует на левобегущие состояния. Он представляет собой генератор группы, который транслирует состояния, принадлежащие весовой решетке, на корневой вектор К1. Построение проводится следующим образом. Рассмотрим
Е (К) = & : exp [2tW (г)]: С {К), (5.18)
2тг
о
где (К1)2 = 2, z — е2Чх+а).
Такие операторы содержат обычные трансляционные операторы exp (2iKIxI), которые сдвигают внутренние импульсы (равные степеням отображения) на К'. Дополнительный член С (К1) можно рассматривать как операторный 1-коцикл, который выбирается таким образом, чтобы 480 операторов Е(К!) (5.18) вместе с 16 операторами р1 удовлетворяли алгебре Ли групп EsX.Es или Spin(32)/Z2.
Используя свойства когерентных состояний гармонических осцилляторов, можно непосредственно проверить, что
:ехр [2iK'x1 (2)]: :ехр [2iUx1 (w)\: =
= :ехр{2i[Krx'(z)-\r Lrxr (w)]}:(z — w)kIlI для |ay|<|z|. (5.19)
Рассмотрим теперь коммутатор
[E(K),E(L)].
54
Глава 5
Контур интегрирования в 2-плоскости может быть деформирован, так что вклад в интеграл будут давать только возможные сингулярности при z = w. Чтобы коммутатор был замкнутым, мы должны потребовать выполнения условий
C(K)C{L) = {-\)K-LC{L)C{K), (5.20)
С {К) C(L) = 6 (К, L)C(K + L). (5.21)
Коммутатор будет ненулевым, если K-L = —1. В этом случае /С + L является одним из корневых векторов, так как {К +
+ L)2 = 2. Вследствие нормального упорядочения нулевых мод коммутатор также будет ненулевым, если K-L = —2. В этом случае (/C + L)2 = 0. Следовательно, К = —L. В остальных случаях коммутатор равен нулю. Таким образом,
{е (К, L) Е (К + L), если К + Z- — корневой вектор,
К!-р!, если K=~L, (5.22)
0 в остальных случаях,
[р', Е{К)] = К'. (5.23)
Коммутационные соотношения (5.22) и (5.23) в точности совпадают с коммутационными соотношениями для генераторов групп ?8Х?в или Spin (32)/Z2, если e(K,L) выбираются равными структурным постоянным (+1 в этом базисе). Было показано, что можно построить С (К) и e(K,L), и, следовательно, мы имеем два явных представления в пространстве Фока для левобегущих полей. Замечательно, что группа внутренней симметрии 50(16), с которой мы начали, превращается при ком-пактификации в группу ранга 16. Такое расширение группы в данном случае играет главную роль.
