Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 6 Операторный формализм
Теперь мы переходим к рассмотрению взаимодействий. Как и ранее, мы будем следовать методам, применяемым в теории точечных частиц. Существуют три различных подхода: операторный формализм, метод континуального интеграла и полевая теория. Первые два подхода являются существенно пертурба-тивными, тогда как последний подход (мы будем обсуждать его в следующих главах) может применяться для исследования как пертурбативных, так и непертурбативных аспектов.
Рассмотрим теорию Хф3. В этом случае разложение по теории возмущений для произвольного элемента 5-матрицы можно рассматривать как сумму диаграмм, напоминающих разветвленные полимеры. В узлах таких диаграмм каждая частица может с некоторой вероятностью расщепиться, и между узлами распространяются свободные частицы. Такие амплитуды можно получить из интеграла по траекториям; схематично их можно записать в виде
А ~ XN'2 ^ Dx» (т) г)), (*,) . . . 1|(xN) exp (iS [jc^]), (6.1)
где tyK(xK)— волновая функция К-го внешнего состояния. Действие, входящее в интеграл (6.1), состоит из суммы свободного действия (2.1), члена, фиксирующего калибровку, и действия духов Фейнмана — Фаддеева — Попова.
Этот метод получения амплитуд хорошо работает в теориях, где имеется только трехточечное взаимодействие, и особенно для диаграмм первого типа, изображенных на рис. 6.1. Такие диаграммы описывают процесс распространения одной частицы, которая последовательно испускает другие частицы в моменты времени т*. Тогда функциональный интеграл может быть разделен на интегралы от до тг, от Ч2 до./тз и т. д. В этих интервалах частица движется свободной. Диаграммы других типов, изображенные на рис. 6.1, проще всего получить, используя условия унитарности, а также результаты, полученные для диаграмм первого вида.
Существует другой подход, также очень полезный в особенности для диаграмм первого типа, — это операторный форма-
-56
Глава 6
+
Рис. 6.1. Примеры диаграмм, отвечающих элементам 5-матрицы в теории %Ф3.
лизм. Входящие в выражение (6.1) волновые функции внешних частиц имеют вид exp(ikn-xn), где kn — импульс п-й внешней частицы. Мы будем использовать представление, в котором хп является с-числом. Рассмотрим теперь операторную волновую функцию exp [ik-x(x) ], где х*1 (т) = х^- + pH— решение уравнений движения и [х^, pv] = Кроме того, введем вакуум (0), такой, что
рЧ0) = 0. (6.2)
Отсюда получаем
pMeik x (т) | 0)= ky.eik-x(x)\ о). (6.3)
Тогда амплитуду рассеяния, соответствующую диаграмме первого типа на рис. 6.1, естественно считать корреляционной функцией:
An ~ %N~2 ^ Д d%i (0 | exp [ik{ ¦ х (т!)] X X exp [ik2 ¦ x (т2)] ... exp [ikN ¦ x (%)] | 0). (6.4)
Используя формулу Бейкера — Хаусдорфа, получаем (полагая, что k2 = 0)
gik-(x + px) —— ехр Xp2~J e‘b-xexp _L Тр2^ (0_5)
Поскольку т мы считаем временной переменной, принимающей вещественные значения от —оо до +оо, мы видим, что экспоненты в соотношении (6.5) плохо определены. Это типичная ситуация в релятивистской квантовой теории. Поэтому необходимо получить аналитическое продолжение к мнимому времени (виковский поворот), провести все вычисления и вернуться обратно; это даст в конечном счете правильную структуру полюсов. После перехода к мнимому времени мы должны также считать р° мнимым числом, и в окончательном выражении мы
Операторный формализм
ЬТ
вернем р° к вещественному значению обратным виковским поворотом. Следовательно, мы проводим замену т-^-гт.
Можно ввести новые переменные:
где zi принадлежит действительной оси. Так как нас интересуют элементы 5-матрицы, то будем считать, что начальное состояние, в котором находится первая частица, соответствует времени —оо, а конечное состояние с N-й частицей соответствует времени +оо. Поэтому мы получаем
После этого Z\ и zN выпадают из выражения (6.4). Остальные переменные zi должны быть упорядочены, и мы можем выбрать такой масштаб для zi, чтобы z2 — 1. Теперь естественно провести замену переменных г/, = гг/г,_1 и проинтегрировать по 1/з, ..., yN-1 в пределах от 0 до 1. В результате получаем выражение
в котором нетрудно узнать типичный элемент 5-матрицы. Если мы теперь вернем р° обратно виковским поворотом, то получим полюсы с правильным фейнмановским предписанием. Мы могли бы провести вычисления с вещественными т,-; для этого нужно было вставить затухающие множители в выражение (6.5), тогда амплитуда (6.4) была бы хорошо определена. Такая процедура также привела бы к амплитуде (6.7) с фейнмановским правилом обхода полюсов. На практике мы будем работать с z-переменными и считать р° вещественным, но будем помнить, что полюсы нужно обходить по правилу Фейнмана.
Из выражения (6.7) легко получить диаграммные правила Фейнмана. В принципе мы можем также построить вершинные операторы и для чисто внутренних вершин, например для таких вершин, как изображенная на второй диаграмме рис. 6.1. Но в теории точечных частиц амплитуды для таких диаграмм проще получить, используя свойство унитарности и диаграммные правила Фейнмана, вытекающие из выражения (6.7).
