Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что на самом деле мы не выводили операторный формализм. В действительности мы можем установить однозначное соответствие между операторным формализмом и формализмом интеграла по траекториям и в этом смысле вывести его, если, конечно, считать, что последний формализм является-более фундаментальным [51].
ехр (— т i) = zt, dxt = — dz{/zh
(6.6).
Zi = oo, Zpj = 0.
58
Глава 6
Рис. 6.2. Амплитуды излучения частиц струной.
В теориях, описывающих точечные частицы, наиболее мощным вычислительным средством оказалась квантовая теория поля, в рамках которой не только определяется правильное разложение по теории возмущений, но также исследуются различные непертурбативные аспекты. Когда мы хотим рассматривать струнные теории, которые являются более сложными, чем теории точечных частиц, оказывается нежелательным следовать слишком совершенным и потому технически достаточно сложным методам теории. Например, существует детально разработанная техника континуального интеграла, в рамках которой хорошо определяется разложение по теории возмущений. Мы не будем здесь останавливаться на этом, и читатель может найти подробное изложение этих вопросов в работе Манделстама [52]. Вместо этого остальная часть данной главы посвящена операторному формализму.
Одним из основных моментов операторного формализма в теории точечных частиц было предположение, согласно которому происходят только трехчастичные взаимодействия. Что касается струн, то в этом случае еще более естественно принять предположение, что струна распадается на две струны. (Попробуйте разрезать кусок веревки сразу на три части.) Рассмотрим вначале бозонные струны. Так как мы хотим получить S-матрицу, то нас интересуют амплитуды, в которых струны излучают определенные состояния. Для простоты начнем с амплитуды рассеяния N тахионов (рис. 6.2). Тахион представляет собой точечную частицу, особое состояние открытой струны. Чтобы не нарушить принцип локальности, мы должны предположить, что он излучается с одного из концов струны. Тогда •естественное обобщение вершинного оператора теории точечных частиц на случай струн имеет вид [53]
V(k, х) = (6.8)
Операторный формализм
59
где xv- — то же, что в выражении (2.25), а нормальное упорядочение введено, чтобы имело смысл усреднение по вакууму.. Чтобы установить соответствие с обозначениями модели Венециано, введем
т = — i\nz, ^(г)з/(а = 0, т). (6.9)
Процедура нормального упорядочения в выражении (6.8). дает
V (k, z) = ехрГ& • ^ ^~—\eik'x+k-P,n^exp(— k • —J-
' п = 1 ' ' п = 1 '
(6.10)
Основываясь на аналогии с теорией взаимодействующих точечных частиц, предположим, что амплитуда в теории струн. имеет следующий вид:
z') ••• z«)i°)- (6Л1>
Здесь точки действительной оси zi упорядочены таким образом, что Zi>Zi+1. Будем считать, что амплитуда (6.11) соответствует процессу, в котором частица 1 взаимодействует с частицей 2, и образовавшаяся частица затем последовательно излучает все остальные частицы. Выражение (6.11) будет правильной амплитудой в том случае, если оно содержит полюсы в промежуточных каналах и частицы, взаимодействующие в вычетах этих полюсов, совпадают с физическими состояниями струны, т. е.
Ln ) промежуточное состояние) = 0, (6.12)
(L0 — 1) | промежуточное состояние) = 0. (6.13)
Заметим, что мы не выводили амплитуду (6.11), а всего лишь взяли правдоподобное выражение.
Для дальнейшего исследования амплитуды вычислим среднее по вакууму в выражении (6.11). Это можно проделать двумя путями: либо прокоммутировать все операторы уничтожения с операторами рождения и расположить их правее всех операторов рождения, используя формулу Бейкера — Хаусдор-фа, либо использовать методы операторного разложения. В результате получим
N
an=$ ПП <z* - • <6-14) •
i=i i<i
Глава 6
В принципе, как мы уже видели, из физических соображений следует, что должна существовать возможность выбрать Zi = оо, z2=l и zN = 0. Действительно, легко понять, что в струнной теории мы должны фиксировать три точки, так как амплитуда в том виде, в котором она выписана, инвариантна относительно преобразований Мёбиуса:
- аг + Ь (6.15)
cz + d
где а, Ь, с и d — вещественные числа и ad — be = 1. (Эта инвариантность имеет место только в том случае, когда k2 = 2, т. е. испускаемые частицы должны находиться на массовой поверхности.) На операторном языке преобразования (6.15) генерируются операторами L\, Ь0 и L_i (которые образуют подалгебру алгебры Вирасоро).
