Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
44
Глава 4
следующими состояниями:
I 0> ~
qa+\ 0>~Ф“, 4a+qb+\0 )~фаЬ, С... qa;\o)~ta'-a°.
Легко видеть, что это приводимый мультиплет. Чтобы получить неприводимый мультиплет, мы должны наложить условия
(^<*1*2 .. • “2.V)* = в«1«2 • ¦ • Чфа2М + 1 ¦ ¦. о8> (4.25)
^°1а2 ¦ a2N + iy __ 1 еа1а2 ••• а&фа2И+2 ••• °8 (4 26)
Так как группа 50(8) обладает свойством тройственности, перечисленные выше безмассовые состояния со спинорными индексами можно переписать в эквивалентном виде с векторными индексами. Тогда мы получим следующий бозонный спектр:
2 скаляра ф,
2 антисимметричных тензора 2-го ранга А‘> ~ (уЧ)аЬфаЬ,
1 самодуальный антисимметричный тензор 4-го ранга А'>к1г
1 гравитон gli\
последние две серии состояний строятся из <?“'••• а,_ Фермион-ный спектр содержит
2 спинора г|Л
2 набора состояний Рариты — Швингера ¦ф!а.
Допустим теперь, что ql+ и q2+ имеют противоположные ки-ральности (тип Па). В этом случае мы не можем образовать операторы рождения и уничтожения ковариантно по группе 50(8). Нам остается последовать методу, использованному в случае N =1. Начнем с тензорного состояния
I Ц) ~ 10 <8> I /> ~ Ф*‘
и остальные состояния построим по аналогии со случаем = 1:
I а) ® | г) ~ г|>а\ I г) ® I
I а) ® | а) ~ фаа.
Суперструны
45
Тогда бозонный спектр содержит
1 И # (г /) 1 ikksii
1 гравитон ц‘ = ф'"—-ф 6 ,
1 антисимметричный тензор 2-го ранга А1/ = ф1‘‘К
1 скаляр ф = ф",
1 л1( i\a^ ±аа
1 вектор А = (y ) ? *
1 антисимметричный тензор 3-го ранга A{>k = (уЧк)аа фаа. фер-мионный спектр содержит
2 спинора 1):“, %а,
2 состояния Рариты — Швингера г|заг, %ш.
Этим методом, конечно, можно было воспользоваться и в случае, рассмотренном выше.
Мы можем наложить ограничения на спектр теории с N = 2 и получить, таким образом, спектр, соответствующий N = I. Полученные замкнутые струны типа I являются важными, так как могут взаимодействовать с открытыми струнами. Чтобы найти спектр безмассовых состояний, в этом случае образуем линейную комбинацию Q1 + Q2 = Q; после этого можно применить метод, использованный нами в теории с N— 1. Тогда спектр, очевидно, будет состоять из
10 ® I А
|г)®|а>,
т. е. будет содержать
1 гравитон g‘i,
1 антисимметричный тензор А1',
1 скаляр ф,
1 спинор ij)a,
1 состояние Рариты — Швингера ¦фаг.
До сих пор мы обсуждали только состояния свободной струны. Мы могли бы ожидать, что все состояния замкнутой струны также принадлежат некоторому представлению внутренней группы. Но при этом оказывается, что взаимодействие можно включить только в том случае, если такое представление является тривиальным.
Так как струны являются одномерными протяженными объектами, существует возможность того, что они могут иметь внутреннюю ориентацию, которую можно представить в виде “стрелки”, указывающей одно из двух направлений вдоль струны. В том случае, если струны являются ориентируемыми, для заданной пространственной конфигурации существуют два различных классических состояния струны, которые соответствуют
46
Глава 4
двум возможным ориентациям. Открытая струна является ориентируемой, если концы струны считаются различными, в то время как замкнутая струна является ориентируемой, если для нее можно отличить моду, бегущую в одном направлении вдоль струны, от моды, бегущей в противоположном направлении.
Итак, основной вопрос, касающийся ориентации, заключается в том, являются ли струны, описываемые координатами х^(а), SAa(o) и х^(л— а), 5Аа(я — ст), совпадающими или различными. Рассмотрим решения уравнений движения в замкнутых струнах (2.43), (4.7) и (4.8). В этих выражениях замена
0-^.ч — о соответствует перестановкам ап-^ап, Sh-^-S^. Суперструны типа II, которые получаются друг из друга такой перестановкой, являются существенно разными, тогда как в теориях типа I дополнительные ограничения таковы, что приводят к совпадению двух таких струн. Поэтому мы заключаем, что струны типа II являются ориентируемыми, тогда как замкнутые струны типа I неориентируемы. Гетеротическая струна, которая имеет различные левобегущие и правобегущие моды, очевидно, ориентируема. Данный анализ проведен на классическом уровне, но его можно повторить и для квантового случая, если рассматривать матричные элементы операторов х^{а) и 5Ла(ст). При этом выводы не изменятся.
Как уже обсуждалось, в открытых струнах можно ввести (глобальную) внутреннюю группу симметрий (которая является остатком от калибровочной симметрии в ковариантном формализме). Взаимодействие допускает, чтобы состояния преобразовывались, как фь, где индексы а и b принадлежат фундаментальному и комплексно-сопряженному представлениям соответственно. Следовательно, ф% либо преобразуется по присоединенному представлению, либо является синглетом. На интуитивном уровне это можно понимать так, что на одном конце струны находится “кварк”, а на другом “антикварк”. Поэтому, если “кварки” отличаются от “антикварков”, струна является ориентируемой, если же они совпадают, то струна неориенти-руема. Концы таких струн могут соединяться и образуются замкнутые струны, если “кварки” являются синглетами. Например, струны с группой симметрии U(п) будут образовывать ориентируемые замкнутые струны, тогда как струны с группой SO(n) и Sp(2n) будут образовывать неориентируемые замкнутые струны. Но все полученные таким путем замкнутые струны должны быть струнами типа I, поскольку открытые струны были типа I, и, следовательно, все они должны быть неориен-тируемыми. Таким образом, путем нестрогих рассуждений мы заключаем, что допустимы только группы SO(n) и Sp(2n) [44].
