Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
' n ф 0
и Yn = YoYi ••• 79- Отметим, что рамоновская вершина испускает скалярную частицу, хотя возможно также испускание псевдоскалярной частицы.
Чтобы убедиться в правильности таких амплитуд, мы должны, как и выше, доказать, что в них распространяются только физические состояния. Это делается точно так же, как в модели Венециано. Проинтегрируем по 2 в (6.30); тогда для полученного выражения можно показать, что Ln, Gr или Fn, действуя на вычеты, дают нуль. Так же, как в предыдущем случае, коммутируя вершинные операторы, можно доказать свойство циклической симметрии для амплитуды (6.30). Как и прежде, наиболее простой способ доказательства состоит в том, чтобы перейти к амплитуде в форме Коба — Нильсена. Для сектора Невё — Шварца вакуумное среднее в амплитуде (6.30) может быть рассчитано, и результат имеет следующий вид:
ГГ dzi dQi
А" = S ^-dv— П & - z>- + e*e/)Vft/; (6-35>
i<l
в таком виде амплитуда впервые была получена Фэйрли и Мартэном [61]. Отсюда легко вывести свойства дуальности.
Как и в случае модели Венециано, можно определить оператор твиста, рассматривая испускание частиц с другого конца струны, а также построить петлевые амплитуды с внешними тахионными состояниями. Чтобы удовлетворить условию унитарности, необходимо включить проекционный оператор [57]. В более современном формализме вводятся духи, после чего однопетлевые амплитуды вычисляются прямым путем. Подробности можно найти в литературе.
Рассмотренные до сих пор вершины описывают процессы, в которых струна испускает частицы, при этом статистика ее не меняется. Но если распространяющаяся фермионная струна
(6.31)
(6.32)
(6.33)
(6.34)
66
Глава 6
испускает фермионную частицу, то она становится бозонной струной. Вершины таких процессов устроены гораздо сложнее, так как две струны в них описываются различными осцилляторами.
Общее выражение для вершины испускания фермиона должно иметь вид
V* (k, г) = 2(0 t (0 | О (k, z) | 0), | 0)d. (6.36)
Явная форма оператора 0(k,z) достаточно сложна. Она впервые была получена Корриганом и Оливом [62]. Подробности читатель может найти в их работе. После больших усилий была построена четырехфермионная древесная амплитуда
[63]. Дальнейшее продвижение столкнулось с очень большими трудностями, но современные методы, учитывающие вклад духов, могут улучшить положение.
Рассмотренный нами в этой главе операторный формализм также оказывается полезным и в случае суперструнных теорий. Так как суперструнные теории можно получить из модели Рамона— Невё — Шварца, используя определенный проекционный оператор, операторный формализм можно распространить и на такие теории.
Тем не менее до сих пор не существует суперсимметричного ковариантного операторного формализма для теорий суперструн и гетеротических струн1), хотя ? калибровке светового конуса операторный формализм для этих теорий существует
[64]. Если мы подставим в вершинный оператор (6.8) и в про-пагатор вместо х^(а, т) разложение в калибровке светового конуса (2.42), то получим формализм, в котором имеются только физические состояния. Недостаток такого формализма состоит в том, что имеет сложный вид-—это квадратичная функция по хК Но в том случае, когда количество внешних частиц не превышает d, мы можем преобразованием Лоренца перейти в такую систему отсчета, где kt = 0. В этой системе отсчета вершинные операторы записываются в терминах только поперечных координат и импульсов. Это приводит к тому, что в результате вычислений будут получены неинвариантные ответы даже для элементов S-матрицы. В конечных выражениях нужно искусственно восстанавливать лоренц-инвариантность.
Формализм, аналогичный только что рассмотренному, был использован при вычислении однопетлевых диаграмм в суперструнах [65]; совсем недавно подобный формализм был развит для гетеротической струны [30].
*) См. предисловие к русскому изданию. — Прим. ред.
Глава 7
Полевая теория свободных суперструн
Самым результативным подходом, применяемым для описания взаимодействий точечноподобных частиц, является формализм вторичного квантования, или квантовая теория поля. Рассмотрим скалярную частицу, заданную своими координатами в фазовом пространстве ж^ и рКаждому оператору из набора коммутирующих операторов фазового пространства, например х^г поле ф ставит в соответствие числовое значение. Лоренцевы генераторы действуют на поле ф(х^) по следующим правилам: действие на поле есть просто умножение на число, а р^ действует как —id/dxv-. Тогда переменную х^1 можно считать с-числом (собственным значением оператора х^). Построение формализма вторичного квантования осуществляется далее введением импульса л(х), канонически сопряженного полю ф(х). После этого генераторы алгебры Лоренца могут быть представлены в виде
G ~ ^ d3xn(x) gф (х). (7.1)
