Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Мы будем действовать так же, как при построении обычной суперполевой теории в калибровке светового конуса. Начнем с тех частей динамических генераторов суперсимметрии и гамильтониана р~, которые содержат трехструнные взаимодействия, и рассмотрим их взаимные коммутаторы, а также их коммутаторы с кинематическими генераторами. Введем обозначения
«А =‘1 Щ 02,а_Ч! [Z.+ZJ <?“(<,„ „,)? [2,] ?[?,], (8.6)
Я, = i \ СО, /Е, Л_ Ч' [2, + за h (а,, я,| 4'Pil'F |S,j. (8.7)
Полевая теория взаимодействующих суперструн типа Пб 77
Теперь нужно просмотреть различные (анти) коммутаторы в порядке нарастания сложности. Коммутаторы {Qla, Qb“}, \Q+Aa, Н], [J+1, Qa&] и [J+i, Я] дают ограничение на функциональные производные, а именно они должны появляться только в комбинациях d“ = da\jd~\ — d^/d-2 и й‘ = Ь\/д~\ — ЬЦд-2.
Из {Q7d, Q26} заключаем, что х{ появляется только в комбинации xi = x\/d_l—хЦд_v Из этого коммутатора также следует, что функциональные операторы не должны иметь явной зависимости от 0. Кроме того, из коммутатора [/+~, <2да] получаем ф <Э_ + 1/2 # d = 3/2.
Используя полученные ограничения, можно попытаться найти более конкретный вид оператора ^(ffp о2). Тот факт,
что коммутаторы {QIa, Qeb] должны быть пропорциональными 6аЬ, дает очень сильное ограничение. Начнем с той части в операторе q&A, которая не содержит спинорных производных, и далее будем последовательно наращивать число таких производных. В результате долгих и кропотливых вычислений, а так-
же многократного использования свойств представления 50(8),' получим однозначный ответ для h:
А = *5*_ ? й' ¦“Х' ... (8.8)
П = 0, 2, 4, 6, 8
где
рг = —гб*+ х'г, рг = i6* + х'г, (8.9)
СЧ = бг/ С11 = — — v‘;'
^ и > °aia2 2 'aia=>
/-•*/ ____}_ Ji
^сцагазй^ — 41 ^аха>ша^
(8.10)
Гч =—-—е vH
Ql ... cic 2*6! CL\ ... Gs djGa*
Использованные здесь матрицы определяются соотношениями
^ = (8Л1)
Теперь остается установить точный вид членов, содержащих д_. Для этого надо исследовать различные коммутаторы с /г_. Это очень длинные и сложные вычисления, но они должны быть проведены, чтобы быть уверенным в сохранении всей алгебры. Для нахождения только ^--структуры можно использовать
78
Глава 8
более простой подход, основанный на исследовании четырехточечной амплитуды. В работе [68] это проделано для случая открытых струн.
Для полноты мы исследуем также гамильтониан в разложении по модам. Рассмотрим гамильтониан (8.7), в котором h задано выражением (8.8). Чтобы выражение (8.7) стало симметричным по отношению к перестановке струн 1, 2 и 3, вставим в выражение (8.7) интеграл
J ?>23Л17 [S3 — — S2] = 1. (8.12)
На данном этапе удобно переопределить переменные сг с помощью масштабного преобразования, чтобы они стали пропорциональными р+. Тогда в этих ьивых переменных длина струны 3 совпадает с суммой длин струн 1 и 2, а дельта-функция в (8.12) означает просто, что в момент взаимодействия струны 1 и 2 точно составляют струну' 3 или струна 3 распадается на струны 1 и 2, но так, что длины струн 1 и 2 не перекрываются. Ясно, что это естественное взаимодействие с точки зрения геометрии. К сожалению, в данном формализме имеется также оператор /г (cri, Стг), действующий в точке взаимодействия, который несколько затемняет чисто геометрическую картину расщепления струны. Явное интегрирование по всем высшим модам является слишком трудной задачей. Вместо этого рассмотрим выражение
Е = и J Z)2, D22 ?>23 А17 [23 - 22 - 2,] W [2,] ? [22] ^ [23]. (8.13)
Проведя разложение по модам для всех координат и проин-
тегрировав по всем ненулевым модам, получим следующее формальное выражение:
з
Е = Ш d°Xr d8Q^17 (zi — z2> б17 (z2 — z3)X
Г=1
3
x ? c «n(1)* ra<2)>п(3)» П ?ь<г>> (zr)> (8Л4>
{«(1), „(2), „(3)} r=l
где {n^}—сокращенная запись для бесконечного набора параметров {п{р, n'^r\ m't(r)Y определенных в (7.24), и zr = = (Хг, 0г). Это довольно громоздкое выражение, поэтому, чтобы избежать такого большого числа индексов, введем вектор в пространстве Фока:
\V)= ? С({«(1>, «(2), я(3>}) |п(1), п(2>, п(3)>. (8.15)
{«0>, „(2), „(3)}
Полевая теория взаимодействующих суперструн типа 116
79
Тогда взаимодействие трех определенных полей задается посредством выражения
