Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
После этого можно ввести канонические коммутационные соотношения для полей и переписать суперпуанкаре-алгебру во вторично квантованном виде, а также определить гамильтониан и лагранжиан теории. Как и в рассмотренном выше случае суперструн типа 116, можно доказать, что построенные таким образом представления суперпуанкаре-алгебры являются единственными [67], и допустимых контрчленов к кинетическому действию, отличных от него самого, не существует.
На этом этапе следует подвести некоторые итоги, касающиеся квантовых струн. В разложении (7.24) мы определили локальную точечноподобную структуру для каждого квантового состояния, в котором может находиться струна. Это можно понять, если считать каждую точку струны отдельным точечноподобным объектом, возбуждения которого задают определенные состояния. (Такие состояния не являются собственными векторами массового оператора и, следовательно, не являются истинными состояниями, но их гораздо легче представить себе,
X1 {х1, XR, XL), I = 1, . . ., 6,
XR = -J=r (x7 + ixs), xL = (x7 — ixs).
74
Глава 7
чем гармонические моды, которые являются истинными состояниями.) Но когда струна распространяется, все состояния (или точки на струне) распространяются когерентно, поэтому мы должны рассматривать протяженный объект. В следующей главе мы исследуем взаимодействия и рассмотрим трехструнные вершины. Если каждая струна спроектирована на конкретное состояние, то мы получаем трехточечные функции.
Последнее замечание касается грассмановых координат, входящих в суперполе \F[x(a), 0(g)]. Здесь мы не можем провести разложение в ряд Тейлора и получить конечное число полей 4я[х(а)], как в случае суперполей в теории точечных частиц.
Глава 8
Полевая теория взаимодействующих суперструн типа Пб
Формулировка теории струн в калибровке светового конуса является вполне подходящей для введения взаимодействий. В этом формализме один из генераторов алгебры р~ является гамильтонианом, поэтому возникает естественный вопрос, можно ли добавить к гамильтониану члены с взаимодействием, сохранив при этом алгебру. Оказывается, что все генераторы алгебры, которые уводят систему с плоскости квантования х+ = const, должны содержать члены с взаимодействиями. Эти генераторы называются гамильтонианами или динамическими генераторами (в противоположность линейно-реализованным генераторам, которые называются кинематическими генераторами) по терминологии Дирака [69].
Точный вид членов взаимодействия мы получим в два этапа. Сначала мы представим генераторы в функциональной форме. Динамические генераторы выпишем в наиболее общей форме и потребуем, чтобы алгебра была замкнутой. На этой стадии построения мы сможем объединить все выражения в одно общее выражение. Затем на втором этапе, чтобы установить точный смысл этого общего выражения, мы должны перейти к разложению по модам и проверить, правильно ли определено каждое взаимодействие. После всего этого мы можем вернуться обратно к функциональной форме генераторов.
Запишем в общем виде вклад трехструнных взаимодействий в произвольный генератор (для случая суперструн типа Пб):
G3 = i J D2, D22d_W [2, + 22] ^ (а,, <т2) Ч [2,] W [2J. (8.1)
В этом выражении конфигурации 2i и 22 имеют одну общую точку. Конфигурация 2i+22 является объединением конфигураций 2i и 22. Чтобы взаимодействие было локальным, оператор ё(°ь а2) должен действовать в точках и ст2, которые расположены бесконечно близко к общей точке конфигураций 2i и 22, называемой также точкой взаимодействия. Если мы перейдем в выражении (8.1) к разложению по модам, то увидим, что в разложении необходимо ввести сглаживающие функции, чтобы подавить расходимость вблизи точки взаимодействия. Но
76 Глава 8
при проверке замкнутости суперпуанкаре-алгебры эти функции не существенны.
Исследуя алгебру на замкнутость, мы будем иметь дело с коммутатором двухструнного и трехструнного операторов. Пусть
A = i\ D2d_W [2] J daa {о) ? [2], (8.2)
В = i ^ D2, D22 cL? [2t + S2] bx (aO 4 [2^ b2 (a2) W [22], (8.3)
причем функциональные операторы можно интегрировать по частям, т. е. оператор, действующий на TfEi] или на можно перекинуть на [2х 2г] (с соответствующим изменением знака). С учетом этого мы получаем ответ:
[А, В] = i J ?>2, DZ2 d_W [2, + 2J X
X J da { [6, (ст,), a (a)] ? [2,] b2 (a2) Y [22] +
+ bx (a,) ? [2,] [b2 (<r2), a (a)] ? [22]} (8.4>
при условии, что а (о) не содержит дПроизводная oL требует особого обращения. Это можно понять на простом примере:
[J D2 д_ ? [2] J da ZgL Ч [2], i J ?2, ?>22[2! + 22] W [2,] W [22]]= = ^ D2, Z)22 <3_4r [2X + 22] X
x 5da ~h {¦*?-v [Si] д-^[2i] Y • (8-5)
Можно ожидать, что трехструнная вершина содержит члены не более чем с двумя поперечными функциональными производными, так как безмассовая трехточечная амплитуда включает трехгравитонную вершину, но здесь мы допускаем самое общее выражение для гамильтониана.
