Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Сыи N2, = ^2> N3\V), (8.16)
где |JVi, N2, N3} — вектор в пространстве Фока, а через N1, N2 и Nз обозначены три набора целых чисел, задающих возбужденные уровни трех струн. Зная | V), можно в принципе получить исходное выражение для Е.
Нахождение | V} путем прямых вычислений — утомительная задача. Более быстрый путь заключается в следующем. Заметим, что если подставить х‘3 (а) — х\ (ст) — х‘2 (сг) в подынтегральное выражение (8.14), то из-за Л-функционала получим нуль. Прослеживая путь от формулы (8.14) к (8.16), мы заключаем, что вектор | V> должен удовлетворять условиям
(*з — х\ (ff) — 4 (or)) I v) = °. (8-17)
(03 (<T) - 01 (ст) - 02 (a)) ( V) = 0, (8.18)
а также соответствующим условиям, содержащим импульсы.
Все перечисленные условия позволяют определить вектор | V>
с точностью до некоторых общих множителей, которые не содержат осцилляторов. Эти множители будут окончательно найдены ниже. Если написать наиболее общее выражение для | V> в терминах операторов рождения и потребовать выполнения условий (8.17) и (8.18), то мы получим
| V) = ехР’(?а + Ед) 10) б17 (г® - z°) б17 (z° - z®); (8.19)
здесь нулевые моды г° = (х0, 0о) и
80
Глава 8
где 0^2m определены выражением (7.20), а также введены следующие обозначения:
Теперь мы можем рассмотреть гамильтониан (8.7) с оператором /1(01,02), заданным выражением (8.8). Используя вставку Д-функционала (8.12), приведем h к симметричной форме h(aь<т2, Сз). Повторяя путь от выражения (8.13) до (8.15), мы получим, что гамильтониану соответствует в фоковском пространстве вектор
\H) = h(ou ст2, a3)\V), (8.23)
где h выражено через осцилляторы. Если операторы, содержащиеся в h, прокоммутировать с экспонентой в | V), то получим
где Z11 У) и Ya | V) — векторы с конечной нормой.
Наконец, мы можем теперь вернуться к функциональному выражению, чтобы получить правильно нормированный трехструнный гамильтониан в виде (8.7) и (8.8), где сделана замена
и рассмотреть поведение всего выражения в пределе
Дальнейшую проверку гамильтониана можно осуществить, рассматривая взаимодействия трех безмассовых частиц. Эти взаимодействия легче всего получить из вершинного вектора (8.23), вычисляя различные матричные элементы | Я) с тремя основными состояниями. Вместо этого можно принять, что ст0, и, таким образом, воспроизвести точечные частицы в выражениях (8.7) и (8.8). Можно показать, что полученные выражения соответствуют кубичным взаимодействиям в N = 2-суперграви-тации.
з
дirs — тпа дir /us
1V тп— „„ I М тм п>
rs ________
тп —
nar + mas
(8.22)
rff(CT)|F>—г±(а1-стГ1/2Г|К>,
O-^Oj Jb
(8.24)
(8.25)
P1 (or) -> VCTi — о P‘ (a),
P* (ст) Vcti — ст p* (or), da (ст) -> Vct, — ст da (a),
(8.26)
Глава 9
Другие примеры струнных взаимодействий и возможное появление аномалий
Построение взаимодействий включает нахождение нелинейных представлений суперпуанкаре-алгебры с использованием вторично квантованных функционалов. В случае открытых струн мы начнем с построения трехструнного взаимодействия. Рассмотрим естественное взаимодействие, которое возникает, когда концы двух струн соединяются и образуется одна струна. Будем использовать полевой формализм, рассмотренный в гл. 7, и возьмем гамильтониан в виде
Я3 = * J D^DZ2h3 (<х1; а2) Тг (д_Ф [2, + 2J Ф [2,] Ф [2,]), (9.1)
где след берется по индексам группы SO(JV) или Sp(2N) поля Ф. В момент взаимодействия одна крайняя точка в конфигурации 2i совпадает с одной из крайних точек в 22. Переменные а мы выберем так, чтобы длина струны была равна ла s 2 p+it.
Здесь также необходимо использовать всю алгебру, чтобы получить однозначный ответ для гамильтониана, где
часть обозначений уже использовалась в выражении (8.8). (Дальнейшая информация об обозначениях приведена в приложении к части I). Кроме того,
с1 = i/v2
для i= L, для i = /,
для i = R,
(9.3)
О в остальных случаях.
Как и в случае замкнутых струн, детальное исследование гамильтониана в разложении по модам показывает, что
82
Глава 9
необходимо включить определенные сглаживающие факторы. А именно все операторы б/80л и р‘ нужно умножить на фактор (itai — а)1/2 и взять предел при а-> па\.
Вершины для открытых струн также можно использовать для построения вершин в замкнутых струнах; для этого нужно взять их прямое произведение. Поскольку мы уже видели, что левобегущие и правобегущие моды разделяются во всех генераторах, мы можем построить вершину для замкнутых струн путем перемножения двух вершин для открытых струн, одна из которых содержит только левобегущие моды, а другая — только правобегущие. После этого построенную вершину можно переписать также в функциональной форме как произведение левобегущих и правобегущих операторов.
