Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
а,а = 1, 8 принадлежат двум неэквивалентным 8-мерным
Суперструны 39
спинорным представлениям группы SO(8). Алгебра имеет вид {Q+. Q+} = 2р+6а6, (4.9а)
{Qt, Qt} = 2p~b*6, (4.96)
{Qa+, Qk } = У 2 (уг-)ай Pl¦ (4.9в)
Используемые обозначения приведены в дополнении к части I.
Приведем теперь представление суперпуанкаре-алгебры, которое строится с помощью полей, входящих в действие (4.2). Нам снова потребуется некоторая доля предвидения, поскольку мы строим алгебру сразу в калибровке светового конуса, а не выводим ее из лоренц-ковариантной алгебры. В случае замкнутых струн это N = 2-суперпуанкаре-алгебра. Итак, наиболее общая алгебра имеет вид
р+=р+, (4.10а)
Я
р1 = ^ dap1 (сг, т)> (4.106)
о
я
____1^
2 яр
+ J da [лУ2 + х'1‘ - i (S’S1' - S2S2')], (4.1 Ов)
О
Л
VlT fdoS?’ (4.1 la)
О
я
(4.116)
О
Я
q~d =-------^=- ^ da (y'^i)0 [ыр1 — хп), (4.11 в)
Я Д/ р Q
я
Я2й =-------7= \ d(J (\is2)a (пР{ + х'1)> (4-11г)
Л \ Р Q
Я
f = 5 Аг[*У - *y + (SV'S1 + S^S2)], (4.12a)
0
я
j+i = J do (x+p‘ - xlp+), (4.126)
40
Глава 4
j+ = Х*р —х р+, (4.12в)
п Г
j~' = ? \ do р1} ~ ^’ р~ ^ ~
0
------l-p=—f (SV'S1 (яр* — х1') + S2yi!S2 (тср1 + xr)) + 4 -^-1,
4я Vя Р P J
(4.12r)
где
x'(G) = -4- p«V' + -Ц (S'S1' + S2S2'). (4.13)
P 2 p
Знания этой алгебры достаточно для того, чтобы построить все известные струнные модели (за иключением d = 2-модели [18]):
1. Суперструны типа 116. Эта модель соответствует полной алгебре (4.10) — (4.12) с периодическими граничными условиями на координаты. Отметим, что такая модель будет кираль-ной, так как операторы рождения Sl“n и S2~n порождают спиноры только одной киральности.
2. Суперструны типа На. Чтобы получить эту модель, нужно вместо антикоммутирующей координаты S? ввести координату Sf, преобразующуюся по другому спинорному представлению. Это никак не скажется на формулах алгебры, поскольку Si и S2 нигде не перемножаются скалярно. Конечно, после такой замены Si и S2 уже не могут быть объединены в двухкомпонентный спинор по двум измерениям, но это не имеет значения. Модель не киральная, так как спинорные состояния могут быть объединены в майорановские состояния.
3. Суперструны типа I. В случае открытых струн мы должны взять граничные условия, соответствующие (2.42), а также
(3.8) и (3.9а). Тогда q+ = q+ и q~ = q~, следовательно, суперсимметрия понижается до iV= 1-суперсимметрии. Аналогичное понижение суперсимметрии можно провести и для случая замкнутых струн.
4. Бозонные струны. Положим S1 = S2 = 0. В этом случае суперсимметрия, конечно, отсутствует.
5. Гетеротическая струна. Эта струнная модель рассматривается в следующей главе.
6. Спиновая струна. Модель спиновой струны можно получить, если в алгебре провести преобразования тройственности от спиноров Sa обратно к векторам X1, такие, например, как Sia$ia_>_^ii^n и S'y^S1и аналогично для S2. Тогда можно легко получить представление алгебры для спиновой струны. Суперсимметрия, конечно, не сохраняется.
Суперструны
41
Рассматривая теории суперструн типов I, На и 116, мы знаем, что имеется квантовая теория свободных струн, в которой низшие состояния являются безмассовыми. Теперь мы хотим узнать, каковы спины этих безмассовых состояний. Для бозонной струны в качестве основного состояния можно выбрать скалярный вакуум |0>. Действительно, если положить все фермионные осцилляторы в выражениях (4.12) равными нулю, то видно, что вакуумное состояние является скалярным. Но для суперструн в нулевой моде генератора jl> (4.12а) появляется дополнительная часть, а именно
+ (4.14)
В общем случае этот оператор, действуя на вакуумное состояние, дает ненулевое значение.
