Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Кроме того, безмассовый уровень должен образовывать су-лер мультиплет. Такой супермультиплет может быть построен на основе антикоммутатора (4.9а), а также знания выражения
(4.14) с учетом того, что q+ реализовано линейно. Генератор ,q“ является вещественным. В четырехмерном случае обычно переходят от 50(2)- к U(I) -описанию, строя комплексные генераторы (не имеющие лоренцевых индексов), которые образуют алгебру Клиффорда. После этого можно определить операторы рождения и уничтожения, из которых затем строится супермультиплет. В случае d = 10 мы до сих пор использовали SO (8)-ковариантные обозначения. Чтобы разложить генераторы на операторы рождения и уничтожения, мы должны нарушить SO(8)-rpynny до St/(4)X^(1)- Именно этот формализм используется в полевой теории открытых струн. Но в этой главе мы опишем альтернативный формализм, который использует полную SO (8)-ковариантность. Этот метод может с таким же успехом применяться и в размерности d = 4. Рассмотрим нулевую моду генератора jij, заданного выражением (4.12а). В случае открытых струн
if/ = lli + y 5oY‘75o s + 41- (4-15)
Последний член в этом выражении и есть вклад спина. Если •считать вакуум |0> скалярным состоянием, то требуется наложить условие
I 0) = 0. (4.16)
Умножая левую и правую части на So и используя тождество Фирца, мы получаем So|0) = 0, следовательно, |0>=0, если d-ФА.
42 Глава 4
В случае d = 10 мы должны сделать следующую простую
вещь. Возьмем вакуум в виде вектора |i> с нормировкой
<i|/> = Sv. Потребуем, чтобы это вакуумное состояние удовлетворяло условию
s\}\k) = btk\fi-bik\C). (4.17)
Введем теперь следующее обозначение:
?a^qa+\i); (4.18)
тогда имеет место разложение
Vя = ¦¦'“ +у YW, (4.19)
где уг,фга = 0.
Если мы теперь умножим обе части равенства (4.17) на 50, то получим следующее ограничение на состояния:
4>ia = 0, (4.20)
тогда как состояния
(4.21):
с нормировкой {Ь\ а) — р+Ьй6 не подчинены никаким ограничениям. Рассматривая поведение состояний (4.21) при преобразованиях Лоренца, получаем
su\a) = -±{tif\b). (4.22)
Следовательно, такие состояния преобразуются просто как компоненты спинора. Используя тождество Фирца (А.7), находим
л b __ с-ctb I 1 { i / \ я if //ioo\
q+q+ = P б + -jg4Y J <7+Y <7+ (4.23)
и заключаем, что не могут быть построены никакие другие без-
массовые состояния и безмассовый уровень содержит одно векторное состояние и одно спинорное, которые совпадают с муль-типлетом Янга — Миллса в десяти измерениях. Можно, конечно, считать, что оба эти состояния преобразуются по некоторому представлению (например, по присоединенному представлению) какой-либо внутренней группы симметрии. В теориях суперструн типа I существует стандартный способ включения в амплитуды рассеяния квантовых чисел, отвечающих внутренней группе симметрии, достаточно давно предложенный Чаном и Патоном [43]. Он заключается в следующем. Каждому i-му внешнему состоянию струны нужно поставить в соответствие
Суперструны
43
.матрицу {Xt)ab и умножить ^-точечную амплитуду рассеяния на групповой множитель tr(A,i ... %ц)- Эти множители должны факторизоваться определенным образом, чтобы не нарушать факторизационных свойств струнных амплитуд рассеяния. Такое требование ограничивает выбор группы внутренних симметрий, а именно допускаются группы симметрии SO (га), U (п) и Sp(2n) [29]. Отметим, что в данном случае исключительные группы запрещены.
Полезно рассмотреть первый возбужденный уровень. Этот уровень состоит из 128 бозонных состояний ctLj'J/), Slilb) и 128 фермионных состояний al_i|d), S-i|i). Перечисленные состояния образуют различные приводимые SO (8)-мультиплеты, которые (поскольку они являются массивными) могут быть встроены в представление группы SO (9) с помощью лоренце-вых генераторов. Таким способом для бозонов получаются следующие представления группы SO (9):
ш,
с размерностями 44 и 84 соответственно. Фермионы образуют один 128-мерный SO (9)-мультиплет Рариты — Швингера (подобный г|)г“ в выражении (4.19)).
В случае замкнутых струн безмассовый уровень возникает при действии двух генераторов суперсимметрии ql+ и q2+. Допустим, что оба они принадлежат одному и тому же представлению группы SO(8) (это означает, что они имеют одинаковую киральность в десяти измерениях (тип 116)), тогда мы можем образовать комплексные генераторы
qa+==~w(q++iq+T (4-24)
и, следовательно, использовать qa+ и q*_f в качестве операторов рождения и уничтожения. В этом случае мы можем определить скалярный вакуум (который должен быть комплексным, как следствие комплексных преобразований суперсимметрии). Действуя генератором /*/, в определении которого (4.14) содержится slJ, на этот вакуум, мы убеждаемся, что вакуум действительно является скалярным состоянием. Если теперь последовательно действовать оператором qa+ на вакуумное состояние, то получим, что безмассовый супермультиплет образован
