Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
6АЙ = рХ-Л + (3.25)
= iapada/Jl.
Используя этот факт, мы можем описывать струну в терминах «суперкоординат» [17, 18}:
(о, т, 0Л) = х11 {а, т) + (о, t) + y iQQF*1 (а, т). (3.26)
Это замечательный результат. Десятимерная спиновая плотность Xм-(а, т) на мировом листе появляется вследствие рассмотрения супермирового листа с координатами а, т и 0Л, где 0л—двухкомпонентный спинор. Определим ковариантную производную
Дл = -|л- + г-(ра0)л<3а; (3-27)
<50
34
Глава 3
тогда действие (3.24) может быть представлено в виде
5 = — J dx dodFtib'F Z)^v (3.28)
Преобразования суперсимметрии (3.25) генерируются посредством
6(ха= — г'ара9, <та = (т, а), (3.29)
60 л = аА. (3.30)
В действительности действие (3.28) обладает бесконечномерной симметрией, называемой суперконформной симметрией. Для такой симметрии “суперкалибровочные” преобразования определяются правилами (3.29) и (3.30) с параметром аА = аА(оа), удовлетворяющим уравнению Дирака.
Поскольку область изменения а имеет фиксированные границы 0 и я, необходимо ввести граничные условия на QA: при о —0
01+02 = 0, (3.31)
при о = л
01 + 02 = 0, (3.32)
и аналогично для аА, где верхний знак соответствует сектору Рамона, а нижний — сектору Невё — Шварца.
Условия связи (3.22) и (3.23) могут быть записаны в супер-пространственной формулировке в виде
/р = РаРр^-^ = °- (3-33)
В рассматриваемой теории суперток (3.33) генерирует супер-конформные преобразования. Следовательно, один из способов построения струнной теории заключается в том, чтобы найти суперконформное действие и потребовать, чтобы суперток был равен нулю.
Решения уравнений движения (3.20) и (3.21), полученных варьированием действия (3.24), имеют следующий вид. Рассмотрим случай открытых струн. Решение для х*1 уже приводилось выше в (2.25), а соответствующие решения для получаются из формул (3.3), (3.4) или (3.10) и (3.11) простой
заменой dl-^d^, Ъ1-^Ь^. Аналогично можно рассмотреть и случай замкнутых струн. Эти решения позволяют записать связи в следующем виде [39]:
П (т) • Ш (т) = 0, (3.34)
где
п" (т| = I d#* (о, х, 0—е, = - ад, (3.35)
D = -‘<,-k + ir- <3-36>
Спиновые струны 35
Здесь, как и в предыдущей главе, мы расширили интервал значений а до —я ^ а ^ я. Это сделано для того, чтобы условие связи можно было представить как функцию только а + т. При этом, накладывая условие связи в момент т = 0, мы можем оставшуюся переменную обозначить т, после чего можно провести отождествление (3.35).
Условие связи (3.34) теперь может быть разложено в ряд Фурье по т и 0 одновременно. Тогда коэффициенты ряда Фурье в секторе Невё — Шварца (в квантовом случае) определяются в виде
Я
L-= \ dx SdQeinx :П ' (3-37)
-Я
Я
Gr =----J dx J d№eln :П ¦ DU: (3.38)
-Я
и образуют алгебру
[Ln, Lm] = (га — т) Ьп+т + п (га2 — 1) бя+т> 0, (3.39)
[Ln, Gr\ = (т - 0 °п+г, (3.40)
{Gr, Gs} = 2Lr+S + 4 (г2 - 1) 6r+s, о. (3.41)
В секторе Рамона имеем
Я
L*=¦- -Ь Sd% SdQein% :п •Ш:+i б«. °> (з-42)
-я
я
Fn = —-L J dx J d№einx :П • DU:, (3.43)
-Я
где мы прибавили к Lq дополнительный член, чтобы сохранить подалгебру Мёбиуса Sf/(1, 1). Полная алгебра имеет вид
[Ln, Lm] = (га — т) Ln+m + ^-п(п2—\) 5п+т, 0, (3.44)
[Ln, Fm] = (±-m)Fn+m, (3.45)
{Fn, Fm) = 2Ln+m + 4 (У - t) V™. o- (3-46>
Квантование теории осуществляется стандартно путем наложения канонических коммутационных соотношений, которые
36
Глава 3
следуют из действия (3.28):
[Xм- (сг, т), pv (o', т)] = — irfvS (о — о'), (3.47)
(сг, т), KBv (o', т)} = — зтблвт]МЛ’б (о — о'). (3.48)
Условия связи накладываются на состояния в виде
Ln | физ) = 0, п > 0, (3.49)
