Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Бозонные струны 21?
канонически сопряженные импульсы:
Рар = -^- = 0, (2.7)
°?аЗ
= ^~-=-тл/~ёёа°д*Ч- (2-8)
Равенства (2.7) образуют набор первичных связей
= pafi = 0; (2 ^
Вычисляя плотность гамильтониана, находим
36 = - 2?г [(- §Ут ТР2 + 2?°v • Р + т (- ?Г1/2'*'2] > (2Л0>
где *' — дх/до.
Следуя методу Дирака [35] квантования систем со связями, определим полный гамильтониан
Я
Н = 5 da {Ж - Ачр^), (2.11)
о
где Лар — произвольные коэффициенты. Введем скобки Пуассона
{gBf5 (о), Ру6 (o')}, = Ф (а — ст'), (2.12)
К (а), ^ (ff')}t = <^6 (а — а'). (2.13)
Если теперь исследовать зависимость связей от времени, вычисляя скобки Пуассона Н и ра®, то мы найдем две вторичные связи:
^=t(i*p2 + *'2) = 0. <2Л4>
l/,2 = 7Jc/'P = 0. (2.15)
Полный гамильтониан теперь содержит сумму всех связей. Следующий шаг — проверка алгебры связей:
= 0, (2.16)
{Ф1 (о), Ф1 (<*')} = Y 1Фг (о) + ф2 (<*')] <V6 (<* — о'), (2.17)
{^1 И, ф2 (o')} = — Y [ф\ (ст) + фх (сг')] даЬ (or — а'), (2.18)
{Ф2 (o'), ф2 (o')} = jr [фг (<г) + Фг И!до& (<* ~ <0 • (2.19>
22 Глава 2
Алгебра оказывается замкнутой, следовательно, все связи первого класса. Квантование теперь можно провести непосредственно, полагая {А, В} ->----{i/ti) [А, В].
На этой стадии существуют два альтернативных подхода к изучению квантовой теории. Первый подход — ковариантное квантование, при котором выбирается ортогональная калибровка
?ар = Лар- (2.20)
Эта калибровка позволяет исключить не все условия связи, а лишь г))аР. В этом случае гамильтониан имеет вид (для простоты положим Т = 1/я)
Я
H = ^r\de[nY + x'X (2.21)
О
(«)=-— &¦{<;). (2.22)
Уравнения движения имеют вид
in —л> = 0. (2.23)
Мы наложили такие граничные условия, чтобы при выводе уравнений движения не возникали поверхностные члены. Тогда для граничных условий существует две возможности.
1. x'v{o — 0) = х'^(а = л) = 0 в случае открытых струн.
2. х^ — периодическая функция от а в случае замкнутых струн.
Ковариантное квантование приводит к необходимости использования гильбертова пространства состояний с индефинитной метрикой, которая возникает из коммутатора
[хп (а, т), pv (а', т)] = г'6^6 (о — о'). (2.24)
Решение уравнений движения в случае открытых струн дается рядом Фурье:
ар.
х^(а, т) = xv- + pH + / 2_j —cos па e~inx. (2.25)
п =jf= 0
Канонические коммутационные соотношения (2.24) приводят к виду
K-a»] = ffl6m«,ofV' (2-26)
т. е. мы имеем бесконечный набор гармонических осцилляторов, у которых временная компонента операторов рождения
(п > 0) генерирует состояния с отрицательной нормой.
Бозонные струны 23-
Оставшиеся условия связи (2.14), (2.15) должны накладываться теперь на состояния в гильбертовом пространстве. Перепишем эти связи в виде
ф± = ф1±фг (2.27)
Подставляя в (2.27) решения (2.25), находим
ф± = ф(% ±о), (2.28)
где
/ \2
Ф(<у) = Ц X фпе~1пЛ (2-29)
\П= — оо /
и aJJ = р».
Два условия связи (2.28), наложенные при т = 0, полностью определяются одной функцией ф(а), причем —л ^ о ^ я. Рассмотрим фурье-моды функции ср(о)
Л оо
Ln= ^ (1ое1паф (о) = Y Yj (2.30)
в частности
io=Iao+Ea-«'a"- (2'31>
П= 1
В квантовом случае Ln становятся операторами, и необходимо нормальное упорядочение, чтобы Ln были хорошо определены. Тогда эти операторы удовлетворяют алгебре Вирасоро (центральный заряд которой впервые был получен Вейсом [36])
(^ + 0-
