Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
[Ln, Lm] = (п — rn) Ln+m + Tr(n3 — n) 6n+m, 0. (2.32)
Вакуумное состояние в гильбертовом пространстве определяется следующим образом:
ая I 0) = 0, п > 0.
Связи накладываются так же, как при квантовании КЭД по методу Гупты — Блейлера. А именно потребуем
(физ \Ln |физ') = 0, пФ 0, (2.33)
т. е.
/.„|физ)=0, п> 0.
Для п = 0 потребуем
(А) — 1) I физ) = 0. (2.34)
Ниже мы рассмотрим это условие более подробно.
24
Глава 2
Условия (2.33) и (2.34) на физические состояния, как было показано Вирасоро [4], совпадают с условиями, которым удовлетворяют физические состояния в модели Венециано.
Альтернативный подход состоит в том, чтобы проводить квантование в калибровке светового конуса [10]. В этом случае калибровочные симметрии фиксируются полностью. Введем изотропные и поперечные координаты:
х± = -$=(х° ±xd~v), х1, г = 1, ..., d — 2, (2.35)
11/2
.и наложим калибровку (2.20), а также условия
х+ (ст, т) = х+ + р+х,
G
J do'p+ {o', х) = ±р+о.
о
Условия калибровки (2.36) и (2.37) означают, что все точки •струны находятся в одном и том же “конусном” времени х+ и имеют одно и то же значение проекции импульса на временное направление р+.
Теперь условия связи (2.14) и (2.15) могут быть полностью разрешены:
х~ = —V (*'* + х'1*), (2.38а)
2 р
х'- = ~х1х'1. (2.386)
Р
Эти уравнения можно проинтегрировать, тогда координата х~(а,т) будет полностью выражаться через поперечные координаты х‘(а, т), а также р+ и постоянную интегрирования х~. Уравнения движения теперь имеют вид
х1 — xf,i = 0. (2.39)
Динамика струны в калибровке светового конуса может быть полностью описана действием
Я
S =-----^ da ^ drrfVdaXtdpX1. (2.40)
о
Это действие, хотя и не является лоренц-ковариантным, должно обладать пуанкаре-инвариантностью. В данном случае преобразования группы Пуанкаре реализованы на координатах х‘ нелинейно. Прежде чем выписывать эти преобразования,
(2.36)
(2.37)
Бозонные струны 25
рассмотрим динамическое содержание действия (2.40). Плотность канонически сопряженного момента
•р1 (а, т) = ^х* (а, т). (2.41)
Как и прежде, возможны два выбора граничных условий:
1. х'‘(о = 0, л) = 0; это случай открытых струн, и решение уравнений движения имеет вид
х1 (сг, т) = х1 + р1 х + I Y 4" an cos nc*e~inx• (2.42)
п Ф 0
2. х‘ — периодическая функция от о; это случай замкнутых струн с решением в виде
х* (сг, т) = х1 + р1х + {а1пе~2Ы -j- а^е~2‘'г-(т+о)). (2.43)
п 'Ф 0
Квантование теории осуществляется непосредственно:
[х1 (а, т), р1 (а', т)] = г'бг/6 (or — а'). (2.44)
Параметры а* теперь становятся операторами, удовлетворяющими следующим коммутационным соотношениям:
К- ат]=Чг+т,0бг/> (2-45)
К» “У = Чн-т, о6'7- (2-46)
Мы снова получаем бесконечный набор гармонических осцилляторов. Гильбертово пространство состояний строится на основе вакуума j0>, который подчиняется условиям
а1п 10) — 0, п > 0, (2.47а)
а*|0) = 0, п> 0. (2.476)
Очевидно, гильбертово пространство содержит только состояния с положительной нормой.
Выражения для генераторов алгебры Пуанкаре получаются из ковариантных выражений подстановкой в них калибровочных условий (2.36), (2.37), а также решения уравнения (2.38), и имеют вид [10]
р+ = р+, (2.48а)
Я
р* = ^ р* (a) da, (2.486)
о
26
Глава 2
р = jj da* = + *'4 > (2.48в)
о пр о
я
ii!' = 5 da (*y - *V), (2-49а)
о
я
j+t — ^do(x^pl— xlp+), (2.496)
о
. j+~ — х+р~ — х~р+, (2.49в)
Я
j~l = \ do [х~ (а) р1 (а) — х‘ (а) р~ (сг)], (2.49г)
о
где х~(о) — решение уравнения (2.386), а р~(а) — подынтегральное выражение в (2.48в).
