Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 3 Спиновые струны
Представление алгебры Пуанкаре, полученное в предыдущей главе, приводит к непоследовательной теории. Чтобы получить последовательную теорию, нужно так изменить выражение для р- (2.50), чтобы не возникало тахионов. Наиболее простым способом это можно сделать, если ввести набор антикоммутирующих гармонических осцилляторов таким образом, чтобы их вакуумные флуктуации компенсировали вакуумные флуктуации коммутирующих осцилляторов.
Прежде всего нужно решить, в каком представлении поперечной группы симметрии SO(d— 2) выбрать новые осцилляторы. Координаты принадлежат векторному представлению. Мы всегда можем выбрать это же представление и для нового набора координат. Так мы и сделаем сначала, но мы должны помнить, что при некоторых значениях d — 2 существуют и другие представления с той же размерностью, что и векторное представление.
Следовательно, рассмотрим набор антикоммутирующих гармонических осцилляторов d\ удовлетворяющих условию
(з-1)
Предположим, что соответствующая массовая формула в -случае открытых струн имеет вид
/ оо оо N
а'р2 = — (Е + Е ndi-ndn); М
\п=1 л=1 /
тогда мы можем вывести отсюда выражение для р~. Это выражение можно записать в координатном базисе, если мы введем разложения по модам
оо
ки= Z ^е-г«(т-<7), (3.3)
П — — 00
00
Д2/= ?
/1=1—00
(3.4)
30
Глава 3
такие, что
{кА1{а, т), кв1 (а', т)} = я6АВдг/6 (а— а'). (3.5)
Тогда формула для генератора р- (на классическом уровне) имеет вид
я
- 5 da (лу2 + х'‘г - iknkni -f ik2ik'2i). (3.6)
1
2 лр 0
Прежде чем мы построим остальные генераторы, рассмотрим динамику, которая следует из выражения (3.6).
Поскольку
. д 1 /. д \ 1
р
соответствующее действие имеет вид
я
S = — \ dx $ da [^да^д^х* + гЯгра(ЭаА,г], (3.7)
о
где Xй, k2i объединены в двухкомпонентный спинор и использованы 2 X 2-матрицы Дирака р“ в майорановском представлении. В последовательной теории поверхностные члены, которые возникают при варьировании выражения (3.7), должны быть равны нулю. Мы получим отсюда граничные условия для к‘, которые в случае открытых струн имеют вид
Xй (0, т) = к-1 (0, т), (3.8)
( k2i (я, т), (3.9а)
Я11 (я, т) = | т)< (3 9б)
Оказывается, что существуют две возможности — (3.9а) и (3.96). В первом случае граничные условия и уравнения движения приводят к решениям в виде (3.3) и (3.4). Мы знаем,
что в этом секторе не существует тахионов. Во втором случае мы приходим к разложениям
ки = 2 bire~ir^~a'> (3.10)
Г
Х21=^Ь‘ге~‘г^+а\ (3.11)
Г
в которых индекс г пробегает все полуцелые значения. Осцилляторы blr удовлетворяют антикоммутационному соотношению
{bUb[} = br+s, „в”. (3.12)
Спиновые струны
31
Условие массовой поверхности (на классическом уровне) в этом случае записывается в виде
(в последнем выражении расходящийся ряд перенормирован). Мы снова получаем тахион! Следовательно, этот сектор модели является нефизическим, и если на основе такой модели построить теорию взаимодействий, то в ней возникнут противоречия.
Введенные только что состояния, которые порождаются осцилляторами d и Ь, а также «-осцилляторами, фактически образуют спектр модели Рамона — Невё — Шварца [7,8]. Те состояния, которые построены из d-осцилляторов, ведут себя как фермионные и образуют сектор Рамона, тогда как состояния, построенные из 6-осцилляторов, которые являются бозонами, образуют сектор Невё — Шварца. В модели, содержащей и фермионы, и бозоны, должны присутствовать оба сектора.
Существует метод усечения спектра, приводящий к теории без тахиона. Такой метод, как было показано [24], остается непротиворечивым и при учете взаимодействий. Рассмотрим проектор
