Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
[к Е] = -Н, (8.10)
С ’
[кН] = — ^-(Е + 4яР).
(8.11)
110 Глава 2. Колебания решетки
Чтобы прийти к отмеченным выше физическим выводам, важно стремиться к отысканию полных решений этой системы.
Прежде всего, мы замечаем, что, в противоположность электростатическому рассмотрению, электрическое поле ни в коем случае не может быть тождественно равно нулю. Действительно, если бы Е было равно нулю, то, как следует из (8.10), нулю было бы равно
и магнитное поле Н. Согласно (8.11), Р также обратилось бы в нуль.
То же, на основании (8.7) и того обстоятельства, что Е = Р = 0 относилось бы и к w. Таким образом, Е приводит только к тривиальному случаю Е Н Р w 0.
Запишем теперь уравнение (8.6) в виде
• <8-i2>
С учетом этого соотношения (8.7) приводится к
Р = + (8.13)
С помощью (8.13) можно переписать (8.8) в виде
(kE){l +4^22 + 4^=^r} = 0. (8.14)
Это уравнение допускает две альтернативные возможности :
Случай А.
1 —L А тг h_-L
CU1
что означает также [ср. 8.13)]
Е + 4 тг Р = 0; (8.16)
или
Случай Б.
k Е = 0.
Но поскольку Е не равно нулю, то в это.м случае мы должны иметь
Е _L к. (8.17)
Рассмотрение обоих указанных выше альтернативных типов решения в их связи с остальными уравнениями (8.9)—(8.11) должно быть проведено отдельно.
Рассмотрим вначале случай А. Благодаря соотношению (8.16) уравнение (8.11) сводится к виду
[k Н] = 0. (8.18)
1 +4^ + -^% = 0, (8.15)
§ 8. Инфракрасная дисперсия и влияние запазд. на колебания решетки 111
Это эквивалентно требованию, чтобы Н было либо равно нулю,
либо параллельно к. С другой стороны, уравнение (8.9) требует,
чтобы Н было либо равно нулю, либо перпендикулярно к. Отсюда следует, что
Н=0. (8.19)
Теперь остается рассмотреть только уравнение (8.10), которое в данном случае принимает вид
[k Е] = 0 . (8.20)
Поскольку Е не равно нулю, оно должно быть параллельно к.
За исключением параллельности вектору k, Е в остальном произвольно. Если Е выбрано, то w и Р определяются с помощью (8.12) и (8.13). Итак, решения, относящиеся к случаю А, могут быть подытожены следующим образом : все векторы являются продольными, т. е.
w j; р i! е ji к,
а частоты определяются решением уравнения (8.15)
4 л Ь л Ьо
которое, заметим, не зависит от к. Мы видим, что эти решения идентичны продольным колебаниям решетки (безвихревым решениям), полученным в предыдущем параграфе электростатическим методом. Таким образом, запаздывание не оказывает влияния на продольные колебания решетки.
Рассмотрим далее случай Б. Поскольку в этом случае Е перпендикулярно к, из (8.10) следует, что к, Е, Н образуют правовинтовую систему ортогональных векторов (в указанном порядке), а их
скалярные величины удовлетворяют соотношению
кЕ=ш~Н. (8.21)
Уравнение (8.9) теперь удовлетворяется автоматически. Единственным уравнением, еще подлежащим рассмотрению, является (8.11), которое сводится к скалярному уравнению
кН = ~{Е + 4лР). (8.22)
После исключения Н и Р с помощью (8.21) и (8.13) это уравнение
принимает вид
(^)? = (1+4"4-+^S.-)?-
112 Глава 2. Колебания решетки
Поскольку Е не равно нулю, имеем
= 1 + 4 * Ь„ + ± < ¦ (8.23)
За исключением перпендикулярности вектору к, в остальном Е произвольно. Таким образом, для каждого к имеются два независимых решения, отвечающих двум возможным независимым способам выбора Е (например, любые два взаимно перпендикулярных вектора, оба перпендикулярные к); соответствующие значения w и Р определяются по формулам (8.12) и (8.13). Подведем итог : все решения в случае Б поперечны, т. е. векторы
К (w 'P Е), Н
взаимно перпендикулярны. Частоты, определяемые решениями уравнения (8.23), являются в этом случае функциями к. Для заданного волнового числа к уравнение (8.23) имеет два решения, каждое из которых, как отмечалось выше, двукратно вырождено (т. е. ему отвечают два независимых нормальных колебания).
На фиг. 19 все решения представлены сплошными кривыми на графике (со, к).
Вспоминая, что показатель преломления равен отношению скорости света в вакууме с к фазовой скорости оптической волны, мы убеждаемся, что уравнение (8.23) идентично дисперсионной формуле для оптических волн, которую мы уже упоминали в предыдущем параграфе. Найденные нами решения являются полными, из этого следует, что все поперечные нормальные колебания суть оптические волны.
