Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
~div [EH] = (Н rot Е — Еrot Н) =
= - (И Н + Е Ё) + ЕР + v е, х, Е <5 (х - х,)}. (8.28)
Интегрируя обе части этого равенства по произвольному объему,
получаем
|{^[Ен]}<г5_
= -|{^(НН + ЕЁ) + (ЕР) + veixfEa(x-xi)}dT> (8.29)
§ 8. Инфракрасная дисперсия и влияние запазд. на колебания решетки 115
где объемный интеграл в левой части преобразован в интеграл по ограничивающей поверхности с помощью теоремы Грина. Мы видим, что (с/4тг)[ЕН] — вектор Пойнтинга (вектор плотности потока электромагнитной энергии); таким образом, левая часть уравне ия (8.29) выражает скорость вытекания электромагнитной энергии из объема. [Из уравнений решетки (7.1) и (7.2) ясно, что в макроскопической теории отдельные элементы объема связаны друг с другом только своим электрическим взаимодействием ; следовательно, левая часть уравнения (8.29) выражает также и скорость вытекания полной энергии из объема. ]
Последний член в правой части уравнения (8.29) может быть записан в виде
-2Ч*/Е(х(), (8.30)
i
где суммирование распространено по всем зарядам, находящимся в рассматриваемом объеме. Используя уравнения движения зарядов
m, х, = е, Е (х,), (8.31)
найдем
_ i {у т< *'}= ~ т- *'= _ е' Е • (8-32)
Таким образом, последний член в (8.29) равен скорости убывания
кинетической энергии зарядов, находящихся в объеме. Тогда из закона сохранения энергии и из (8.29) следует, что выражение
^(НН + ЕЁ) + ЕР (8.33)
должно равняться скорости изменения плотности энергии (включающей как кинетическую энергию частиц решетки, так и полную электромагнитную и потенциальную энергии системы). Если обозначить плотность энергии через U, то dUfdt должно равняться (8.33). Этому условию удовлетворяет выражение
U = i w2 - | 6nw2 - 4uw Е - i 622Е2 + ЕР+ 8^(Е2 + Н2). (8.34) В самом деле, дифференцируя (8.34) по времени, имеем = w w — bn w w — b12 w Е — b12 w Ё — й22 Е Ё +
+ ЁР + ЕР + (ЕЁ + Н Н). (8.35)
Последние три члена равны выражению (8.33). Остальные члены могут быть записаны следующим образом :
w (w — ftn w — b12 Е) + Ё (Р — b12 w — й22 Е).
8*
116
Глава 2. Колебания решетки
Это выражение равно нулю в силу (7.1)—(7.3). Следовательно, с точностью до произвольной постоянной (что эквивалентно произвольному выбору нуля для отсчета потенциальной энергии) (8.34) представляет собой требуемое выражение для плотности энергии. Если исключить Р с помощью (7.2) и выразить коэффициенты b через (u0, е0 и боа, то выражение для плотности энергии принимает очень простой вид
Для поперечного нормального колебания второй член выражает лучистую энергию, а первый член — механическую энергию колебаний решетки. Кривые на фиг. 20 вычислены путем подстановки поперечных решений в соответствующие выражения1).
Гамильтониан системы получится, если проинтегрировать U по пространству и прибавить сумму кинетических энергий зарядов
Этот гамильтониан включает также энергию электромагнитного излучения. В тех задачах, в которых эффекты излучения пренебрежимо малы, можно использовать электростатическое приближение. Тогда Н можно положить равным нулю и исключить электрическое поле Е с помощью (7.23). Если мы, далее, положим w = w, -j- w,, то найдем, что гамильтониан можно записать в виде
где использовано то обстоятельство, что интеграл от скалярного произведения соленоидального вектора (например, v/{ или v/t) и безвихревого вектора (например, w,, w, или Еаак.) тождественно равен нулю.
Последний член в (8.38) может быть преобразован следующим образом. Как мы помним, Еаак. представляет собой электрическое поле, которое создавалось бы зарядами, если бы они были в вакууме. В электростатике хорошо известно, что интеграл
U = ^ (w2 + w2) +- ^ (?оа Е2 + Н2). (8.36)
Я = ^ 1 т, i? + J {4 (w2'+ w2) + g1- (eM E2 + H2)} dr. (8.37)
^ Подробности см. в работе [33].
§ 8. Инфракрасная дисперсия и влияние запазд. на колебания решетки 117
с точностью до электростатических собственных энергий отдельных зарядов равен энергии кулоновского взаимодействия между зарядами
Поэтому если мы в гамильтониане опустим электростатические собственные энергии зарядов, то последний член в (8.38) может быть заменен величиной энергии кулоновского взаимодействия, деленной на е^. Далее, поскольку а>1 = e^cuf/e,, [см. (7.17)], то два члена в (8.38), содержащие wj, можно объединить, причем получается просто 1/2w?wf. Таким образом, гамильтониан (в электростатическом приближении) может быть записан в виде
Мы видели ранее, что если частицы решетки закреплены при w = 0, то решетка ведет себя как нормальный диэлектрик с диэлектрической постоянной ёоо; первые два члена выражения (8.39) представляют собой гамильтониан зарядов в такой среде. Третий член представляет собой гамильтониан решетки в отсутствие свободных зарядов. Четвертый член описывает взаимодействие между системой зарядов и движениями решетки. Заметим еще раз, что только безвихревое движение решетки связано с наличными зарядами ; это справедливо, однако, только в электростатическом приближении.