Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Фиг. 5. Сравнение моделей Дебая (сплошная кривая) и Эйнштейна (пунктирная кривая).
Дебая, причем &D выбрано равным 0,75 вЕ. Обе кривые практически совпадают всюду, за исключением области очень низких температур, где кривая Эйнштейна резко спадает до значений, которые оказываются слишком малыми. Близкое совпадение кривых Дебая и Эйнштейна, несмотря на радикальное различие наборов частот, постулируемых в каждой из двух теорий, показывает, что тепловые свойства решетки нечувствительны к виду распределения частот, за исключением области очень низких температур. В этом состоит главная причина замечательного успеха этих простых теорий.
Если не знать атомного строения твердых тел, то они представляются упругим континуумом, который рассматривается в классической теории упругости. При таком рассмотрении кристаллической решетки действительно получается дебаевское распределение
60
Глава 2. Колебания решетки
частот. Хорошо известно, что все движения, происходящие в упругом континууме, могут быть разложены на упругие волны вида
где u (х, t) — смещение среды в точке х в момент t. Выражение (4.28) описывает плоскую волну с частотой v, со смещениями, направленными вдоль единичного вектора п (вектор поляризации), с волновой нормалью, параллельной у, и волновым числом, равным | у | ; у называется вектором волнового числа1); А и 5 — обычные произвольные величины амплитуды и фазы, связанные с колебательным движением. Для любого заданного у имеются три независимых рода упругих волн со взаимно перпендикулярными векторами поляризации п,- (i = 1, 2, 3) и, в общем случае, различными частотами v,-. Соответствующие фазовые скорости
и векторы поляризации п, зависят от направления вектора у, но не от его величины. Заметим, что благодаря присутствию произвольной фазы д в выражении (4.28) аналогичная косинусоидальная волна не представляет собой дополнительного независимого рода колебаний ; кроме того, фиксируя, как мы это делаем здесь, определенный знак члена, содержащего vt, можно рассматривать у и — у как два отдельных колебания, соответствующие двум идентичным бегущим волнам, распространяющимся в противоположных направлениях.
Выражение (4.28) представляет собой решения уравнений движения теории упругости и не обязательно описывает нормальные колебания. Нормальные колебания для конкретного образца являются линейными комбинациями вышеприведенных решений (с той же частотой), удовлетворяющими граничным условиям на поверхности (например, закрепленной, свободной и т. д.). Однако, когда образец достаточно велик, распределение нормальных колебаний по частота.м практически перестает зависеть2) от формы образца или
*) Обычный волновой вектор равен 2яу. — Прим. перев.
2) Кроме «объемных» волн существуют еще особые поверхностные колебания решетки [см. Лифшнц И. М., Розеицвейг Л. Н., ЖЭТФ, 18, 1012 (1948); Розенцвейг Л. Н., Ученые записки ХГУ, 2, 19 (1950); Л и ф ш и ц И. М., Розенцвейг Л. Н., Известия АН СССР, серия физич., 12, 667 (1948)].
В случае длинных акустических волн они представляют собой хорошо известные релеевские волны, быстро затухающие вглубь кристалла. Для сложных решеток существуют также поверхностные «оптические» волны.
Такие поверхностные полны приводят к дополнительным оптическим эффектам. Они изучены в цитированных выше работах. Изменение граничных условий радикально меняет характер поверх ан ностиых волн и может, в частности, повести к их исчезновению (это имеет место именно в случае «циклических» граничных условий). — Прим. ред.
и (х, /) — А п sin (2 п у • х — 2 n v t -f д),
(4.28)
(4.29)
§ 4. Приближенное рассмотрение термодинам. свойств решетки 61
от конкретных наложенных граничных условий1). Для нашей цели проще всего взять большой кубический образец объема V и наложить граничное условие, состоящее в том, что соответственные точки на противоположных гранях куба должны двигаться совершенно одинаковым образом. Большое преимущество этого способа состоит в том, что нам не приходится брать комбинаций решений вида (4.28) ; в качестве нормальных колебаний можно выбрать такие решения которые имеют следующие волновые числа :
У = -1 ~ (»!, п2> пз) (п1> пг> пз — целые числа). (4.30)
IV
В самом деле, такие решения, очевидно, удовлетворяют требуемому граничному условию. Заметим, в частности, что если представить эти разрешенные значения у точками в пространстве вектора у, то эти точки распределяются с однородной плотностью (размерность ее есть обратный объем в у-пространстве!), равной V.
Вышеприведенное граничное условие, известное под названием периодического граничного условия, было впервые предложено Борном [4]. Мы можем интерпретировать это условие и иначе, как циклическое условие, что позволяет непосредственно обобщить его на случай решетки. Таким образом, вместо конечного образца представим себе бесконечно протяженную среду. Поскольку в этом случае нет границы для отражения бегущих волн, все решения
