Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим, что решения как для ш2, так и для и/и' являются периодическими функциями у с периодом единица. Поэтому все различные независимые решения получаются, если ограничить изменения rj единичным интервалом, который может быть выбран следующим образом :
(5Л1>
Действительно, следовало ожидать этого ограничения интервала значений т). Решение (5.6) эквивалентно утверждению об изменении фазы движения на е2п‘п при переходе от некоторой ячейки к следующей. Таким образом, картина движения, определяемая решением
(5.6), совершенно не искажается при изменении rj на целое число. Следовательно, только ограничивая интервал допустимых значений rj единицей, мы получаем однозначное соответствие между значением г] и картиной волнового движения. Поскольку \rj/s\ — волновое число, то ограничение (5.11) эквивалентно обрезанию волнового числа на значении (1/2s); волны с большими волновыми числами уже не соответствуют каким-либо новым независимым колебаниям. Это обстоятельство уже упоминалось при введении максимальной частоты в модель Дебая.
74
Глава 2. Колебания решетки
а
1 тической ветвями (по причинам, изложенным ниже).
На фиг. 7 найденные решения представлены кривыми зависимости частоты от г] для нескольких значений отношения масс т'/т. В общем случае (т. е. при т' =f= т) частоты попадают на две разные ветви, соответствующие каждому из двух различных решений в (5.9) и (5.10). Нижняя и верхняя ветви обычно называются акустической и on-
О 7 й
Фиг. 7. Частоты колебаний (в произвольных единицах).
Акустическая ветвь характеризуется тем, что для нее о —>¦ 0 при г] -»- 0.
Действительно, разлагая акустическое решение (5.9) в ряд Тэйлора по г], получаем
Таким образом, для малых rj (т. е. больших длин волн) частота прямо пропорциональна волновому числу. Поскольку s/rj есть длина волны, из (5.12) следует, что фазовая скорость v акустических колебаний при больших длинах волн стремится к значению
Кроме того, из выражения (5.10) непосредственно следует, что при Ч -»- 0 соответствующее отношение амплитуд uju' ^ 1. Это означает, что для длинных акустических волн две частицы в одной и той же ячейке движутся практически в унисон, как одно жесткое целое.
Длинные волны акустической ветви действительно оказываются идентичными продольным упругим колебаниям, если рассматривать цепочку как упругую струну. Фазовая скорость таких упругих колебаний выражается через модуль Юнга Е и линейную плотность д формулой
или
(малые 1])
(5.12)
(5.13)
§ 5. Колебания двухатомной цепочки
75
Поскольку, очевидно, в этом случае g = (m + tn')js, то, используя выведенное ранее для модуля Юнга значение (5.3), приводим эту формулу к виду
совпадающему с (5.13).
С другой стороны, частоты оптических колебаний при 77 —> О стремятся к конечному значению [см. (5.9) ]
Кроме того, из (5.10) следует, что соответствующее отношение амплитуд равно
Таким образом, движения двух частиц в каждой ячейке противоположны друг другу, а центр инерции ячейки остается неподвижным.
Оптические колебания с большими длинами волн имеют особенно важное значение при рассмотрении взаимодействия кристаллов со светом. Вообще говоря, электромагнитная волна взаимодействует только с колебаниями решетки той же длины волны и подвергается сильному воздействию только в том случае, когда ее частота близка к частоте колебаний решетки. Частоты колебаний решетки обычно лежат в интервале от 0 до Ю13 сек-1; следовательно, световые волны с такими же частотами имеют длину волны большую чем
что, как видим, чрезвычайно велико по сравнению с постоянными кристаллических решеток (~10_8сл*). Поэтому те колебания решеток, которые могут заметным образом взаимодействовать со светом, являются очень длинными волнами с практически исчезающе малыми г) (~ Ю-5). Интенсивность взаимодействия зависит от электрических колебаний, связанных с колебаниями решетки. В качестве аналога ионных кристаллов рассмотрим цепочку, в которой частицы обоих типов одинаково, но противоположно по знаку заряжены (цепочка в целом должна быть электрически нейтральна). В длинноволновых оптических колебаниях противоположные движения противоположно заряженных частиц приводят к появлению результирующего колеблющегося дипольного момента ячейки. Такой дипольный момент полностью отсутствует в длинных волнах акусти-
(5.14)
(5.15)
и — т' , / / rv
— = --------- или ти + т' и = 0.
и т
(5.16)
с 10~13 = 0,003 см,
76
Глава 2. Колебания решетки
