Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Колебания двухатомной цепочки
В этом параграфе мы рассмотрим колебания решетки на основе простой модели, впервые предложенной Борном и Карманом [10]. Эта модель может быть рассчитана в явном виде и обладает многими чертами, типичными для колебаний решеток вообще. Модель представляет собой цепочку из частиц двух разных сортов, занимающих чередующиеся положения (фиг. 6). Предполагается, что силы
__________©-«--«-О ® О @-----------------О • О--------------
. 2 Щ Uо Ч “Г
Фиг. 6. Линейная двухатомная цепочка.
действуют лишь между соседними частицами ; соответствующий потенциал взаимодействия мы обозначим через (р. Ясно, что, когда
§ 5. Колебания двухатомной цепочки
71
частицы разделены равными промежутками, каждая из них находится в равновесии; расстояние между соседними частицами при такой статической конфигурации мы обозначим через s/2, так что последовательные частицы одного и того же сорта разделены промежутками s.
Будем временно рассматривать цепочку как упругую струну. Натяжение этой струны, равное просто силе притяжения между соседними частицами, очевидно, выражается величиной
Когда струна подвергается однородному растяжению, так что s становится равным s + 6 s, натяжение возрастает на величину
Поскольку соответствующая упругая деформация (растяжение на единицу длины) равна
то модуль Юнга Е струны получается делением (5.1) на (5.2). Таким образом, имеем
Цепочка образует, так сказать, линейную решетку с двумя частицами в каждой ячейке. Выбирая произвольную ячейку в качестве начала отсчета, можно перенумеровать различные ячейки с помощью целочисленного значка I. В последующем изложении мы ограничим движение частиц только перемещением вдоль длины цепочки. При рассмотрении колебаний решетки около какой-либо статической конфигурации с заданным промежутком s мы будем обозначать смещения обеих частиц ячейки I по отношению к конфигурации с равными промежутками через и, и и{ соответственно. С помощью потенциальной функции легко написать типичные уравнения движения частиц обоих сортов в виде
где т, т' — массы частиц. Допуская, что смещения малы, можно разложить потенциальные функции в ряды Тэйлора по степеням
(5.1)
(5.3)
72
Глава 2. Колебания решетки
смещений и пренебречь членами второго и более высоких порядков. Таким образом, для малых колебаний (5.4) принимает вид
Формулы (5.5) представляют собой систему бесконечного числа уравнений. Поскольку эти уравнения линейны и однородны, можно использовать комплексные решения в их обычном понимании. Попробуем упростить эти уравнения с помощью следующей специальной подстановки :
Нетрудно видеть, что эти решения описывают, по существу, бегущие волны, аналогичные упругим волнам, рассмотренным в предыдущем параграфе; а — циклическая частота (частота v, умноженная на 2тг), а | s/ч | — длина волны. С помощью подстановки (5.6) уравнения (5.5) сводятся к следующей паре уравнений :
Эта система линейных однородных уравнений разрешима, только если
Таким образом, для любой заданной величины ч имеются два допустимых значения частоты, определяемых решениями уравнения
= Ч>' (4- sj {(“/' - “г) - (“г - “Г-1)} т% = <р" (4~ s) {(“г+i - и,') - (и\ - и,)}
(5.6)
| т со2 — 2 <р” (4~ s)jи + V” (4- s) + е и' = 0 > <р" (4- sj (1 + e2nin) и + | т' со2 — 2 9о" (4~ s j}и' = 0 ¦
(5.7)
= 0. (5.8)
(5.8)
{(т + т') — [(т + т’)2 — 4 mm' sin2 щ],/г}
{(т -f т') + [(т + т')2 — 4mm'sin*лг/]Уг}
(акустическая)
(5.9)
тт‘
(оптичес кая)
§ 5. Колебания двухатомной цепочки
73
Подставляя поочередно эти значения ш2 в (5.7), получаем соответствующие отношения амплитуд:
— /тг (1 + е-гл1ч)
_а_ _ , (т - т') - [(т + тГ - 4 (акустическая)
U’ 1 __ т> п _|_ e-2niij\
. {т — т’) + [(ш + т’)г — 4 mm' sin2 nrj] ’/i (оптнческая)
. (5.10)
Как обычно, для получения фактических смещений можно взять вещественную часть комплексного решения. Это дает синусоидальную волну для смещения частиц каждого сорта. Две волны [ср.
(5.6)], описывающие соответственно смещения частиц обоих типов, имеют одну и ту же длину волны и частоту. Более того, они имеют общий произвольный фазовый и амплитудный множитель, поскольку, как мы видели, уравнения движения фиксируют отношение комплексных амплитуд и, и', а произвольным оставляют только общий (комплексный) множитель. Отметим, что благодаря наличию фазового и амплитудного множителя, которым можно распорядиться произвольно, мнимая часть комплексного решения не дает новых независимых колебаний. Далее мы будем пользоваться только положительными значениями частоты ш, так что решения для rj и —г) отличаются одно от другого. Соответственно двум вышеприведенным различным комплексным решениям мы имеем, таким образом, два вещественных нормальных колебания для каждого заданного у.
