Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
О
Для 1 моля вещества имеем тогда N(v) = Nj(v), где N, как и ранее, — число ячеек в 1 моле. Используя функцию распределения частот, можно выразить (4.8) и (4.9) через интегралы
§ 4. Приближенное рассмотрение термодинам. свойств решетки 57
Е = N { и (v) + kT J [1 + ](|?)/ (v) dv j , (4.21)
U
,¦ ehv кТ { h v \2
Cv = Nk J (if-} fWdv. (4.22)
o'
[Во избежание усложнений за счет поверхностных эффектов при рассмотрении молярных величин не имеется в виду действительный образец в \моль. Вместо этого мы представляем себе очень большие образцы и делим соответствующие экстенсивные (объемные) величины — энергию, теплоемкость и т. д. — на число содержащихся в образце молей. Под молярными величинами понимают тогда пределы этих нормированных значений для бесконечно больших образцов. Таким образом, интегральные формы (4.21) и (4.22) представляют собой точные выражения молярных величин Е и Су.]1)
В модели Дебая [2 ] принимается, что
/ (v) = CV2 для v < vm
(4.23)
= 0 для v > vm ,
где vm (максимальная частота) — параметр, характерный для данного вещества. Мы вскоре перейдем к обсуждению физического смысла вышеприведенной функции распределения частот ; вначале рассмотрим соответствующие выражения для энергии и теплоемкости. Коэффициент пропорциональности С в (4.23) не произволен ; его значение непосредственно следует из условия нормировки для f(y)
rhl
С I’ г2dv = - Зп, или С == . (4.24)
^ v'm
|)
Подставляя (4.23) и (4.24) в (4.21) и (4.22), получаем энергию, отне-
J) Определение функции распределения частот ](у) может быть принципиально произведено по экспериментальным данным о температурной зависимости теплоемкости. Задача сводится к решению интегрального уравнения (4.22) для /(»). Однако, как показывает подробный анализ [см. Лифшиц И. М., ЖЭТФ, 26, 551 (1954)], хотя формулы обращения могут быть записаны в замкнутой фор.ме, решение является неустойчивым, т. е. малые неточности в значениях теплоемкости могут сильно видоизменить/(v). Поэтому из экспериментальных данных можно извлечь лишь сведения о «сглаженной'» плотности
V + ft
/„(v) = ¦ — | / (v) dr, причем необходимая экспериментальная точность тем
V—и
выше, чем меньше интервал реглаживания* (т. е. усреднения) а. — Прим. ред.
58
Глава 2. Колебания решетки
сенную к 1 молю, и молярную теплоемкость
eD Т
E = Jv{U(.) + 9II*T[(-J-),J (у + -йт) ?«]}, (4.25)
О
©д'Т
Cv = 9Nnk (^)3 ) -Д - ?* d? , (4.26)
О
где
вв = ^. (4.27)
В этом случае характеристическим параметром является величина &D, называемая обычно дебаевской температурой.
Согласно этой теории, имеется также универсальная кривая зависимости теплоемкости от температуры, получающаяся, если
Т/вв
0,7. о? Q4 0.5 ае 0,7 0,8 0.9 1,0 1,1 1,2 1.3 1,4 I,5 1,6 1,7 1,8 1.3 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
1У-1.1 \Л \ ¦ \ЖА 1 \JT\ 1 I У ' ¦ iwTl 1 ) I i 1 1 1 1 ¦ I_1 I I \ 1 I ¦ 1 1 I , 1 I I I—1 -~1 ] j I
О 0,1 0,г 0.3 0$ 0,5 0,6 Q7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 16 11 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6‘
т/е»
Ф и г. 4. Экспериментальные и дебаевские значения теплоемкости.
разделить теплоемкость каждого данного вещества на число атомов в молекуле и выразить температуру в подходящих единицах (~ 0D). На фиг. 4 показано, насколько хорошо экспериментальные значения укладываются на кривую Дебая с должным образом подобранными значениями 0D ; использованные значения &D приведены в табл. 13.
§ 4. Приближенное рассмотрение термодинам. свойств решетки 59
Таблица 13
ДЕБАЕВСКИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЩЕСТВ
РЬ Т1 Hg J Cd Na KBr Ag Ca
1
88 96 97 106 168 172 177 215 226
КС1 Zn NaCl 1 CaF FeS с
Cu | Al 1 Fe
230 235 281 315 398 453 474 j 645 1860
Кривые I, II и III представляют собой идентичные кривые, сдвинутые друг относительно друга во избежание излишнего скопления экспериментальных точек. Согласие между кривой Дебая и экспериментальными точками оказывается, как видим, замечательно близким. На фиг. 5 сравниваются значения теплоемкости Эйнштейна и