Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борн М. -> "Динамическая теория кристаллических решеток" -> 26

Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.

Борн М., Кунь Х. Динамическая теория кристаллических решеток — М.: Ил, 1958. — 488 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakristalicheskihreshetok1958.pdf
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 186 >> Следующая


(4.28) описывают разрешенные колебания среды. Очевидно, что эти колебания не могут быть пронумерованы, поскольку у может принимать непрерывное множество значений. Условие (4.30) описывает, так сказать, процедуру взятия пробы. Вообразим, как и прежде, кубический объем V, но теперь он будет частью бесконечно протяженной среды. К этому объему мы отнесем те колебания, которые повторяют периодически по всей среде картину колебаний внутри куба. Поскольку геометрическая конфигурация всей среды в этих движениях полностью определяется конфигурацией в кубе, число таких колебаний, очевидно, должно воспроизводить число динамических степеней свободы в кубе. Кроме того, как легко доказать, если длину ребра куба увеличить в s раз и, следовательно, объем его — в s3 раз, то число колебаний, относящихся к кубу в любом заданном интервале частот, возрастет в s3 раз. Следовательно, увеличивая куб таким образом неограниченно, мы должны будем «охватить» все большее и большее число колебаний в среде, тогда как распределение частот остается тем же (постоянный множитель, как, например, s3, не влияет на это распределение). Таким образом, законность изложенной процедуры «взятия пробы» представляется правдоподобной, а вышеприведенное рассмотрение степеней свободы дает возмож-

х) См. также [3]. Изящное доказательство этого результата недавно было дано Р. Пайерлсом (см. Приложение IV).
62

Глава 2. Колебания решетки

ность связать колебания с конечным объемом. Колебания, приписанные таким образом кубу V, очевидно, те же, что и ранее, т. е. колебания с волновыми числами (4.30).

В случае идеального изотропного твердого тела два колебания (Г= 1, 2) для заданного у являются поперечными (п^ па _L у) и имеют одинаковую частоту = v2 = v,; остающееся колебание (i = 3) — продольное (п3 || у) и имеет другую частоту vs. В силу изотропии, фазовые скорости

Ci = c> = -|^|=c,f с3 = -^ = с, (4.31)

являются постоянными, не зависящими от направления и величины у. Таким образом, поперечные колебания с частотами в интервале от v до v + A v занимают сферическую оболочку в у-пространстве, объем которой равен

4 л у2 А у = A v.

Число разрешенных значений у в этой оболочке получается умножением ее объема на плотность V изображающих точек

4 nV п л —,— it Л V. ci

Поскольку каждому значению у отвечают два поперечных колебания, то число последних в интервале частот от v до v + A v равно

v2 A v . (4.32)

ct

Точно таким же путем находим, что число продольных колебаний в том же интервале частот равно

A v. (4.33)

ci

Когда мы будем рассматривать колебания применительно к действительным атомным решеткам, станет ясно, что волновое число j у | не может возрастать неограниченно ; действительно, все различные нормальные колебания заключены в интервале значений | у | от нуля до 1/а, где а — порядок величины линейных размеров ячейки решетки. Очевидно, что такой предел должен существовать, поскольку в противном случае число колебаний, определенное формулами (4.32) и (4.33), было бы бесконечным, а не равным числу степеней свободы атомов в объеме V. Одним из разумных способов учета этого обстоятельства является рассмотрение только колебаний (4.32) и (4.33), лежащих внутри сферы у-пространства с центром в начале координат, причем радиус сферы определяется так, чтобы получалось правильное число степеней свободы. Заметим, что вследствие различия скоростей поперечных и продольных волн это
§ 4. Приближенное рассмотрение термодинам. свойств решетки 63

означает обрезание спектра частот поперечных и продольных колебаний (4.32) и (4.33) на двух различных максимальных частотах. Однако обычно избирается более прямой путь — обрезание спектров частот как продольных, так и поперечных колебаний на одной и той же частоте vm. Такая процедура, как видим, приводит непосредственно к применявшейся нами функции распределения частот (4.23). Этот последний метод кажется несколько произвольным ; но поскольку различие обоих методов обрезания колебательных спектров касается только колебаний с очень малыми длинами волн, для которых рассмотрение на основе теории упругости в любом случае незаконно, использование того или другого метода не имеет особого значения.

Складывая (4.32) и (4.33) и сравнивая результат с Nf(v), а также вводя величину объема, приходящегося на одну ячейку, v = V/N, получаем

Коэффициент пропорциональности, как мы видели, связан с обрезающей частотой vm соотношением (4.24); поэтому

что следует из условия нормировки. Максимальная частота, а следовательно, и дебаевская температура могут быть, таким образом, вычислены, исходя из скоростей упругих волн. Поскольку кристаллические твердые тела никогда не бывают изотропными, можно только грубо проверить вышеприведенное соотношение, заменяя {2/c3t + 1 /ф следующим средним значением по всем направлениям распространения (ср. §6) :
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 186 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed