Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
формуле для рь, а именно:
sin Ь = + - = + cos i.
Далее, характер движения зависит существенным образом от соотношения
подрадикальных выражений в уравнении для рг
F(r) = 2^[W-U(r)}-^
Проанализируем возможные при этом случаи, предполагая, что U{г) -
монотонная функция, г нормированная так, что для г- оо она исчезает.
1 случай. В отталкивающем центральном поле U {г) - положительна.
Чтобы, вообще, существовали только положительные значения F(r),
необходимо, чтобы W всегда было положительным. Тогда F (г) будет
оставаться положительной для большого гнс уменьшением г будет сама
монотонно уменьшаться; для малых г функция F(r), очевидно, отрицательна.
Таким образом функция F(r) имеет нулевое место. Движение происходит между
малым значением г и бесконечным его значением.
2 случай. В притягивающем,центральном поле функция U(r) отрицательна,
и W может принимать значения: положительное, нуль или отрицательное.
Знак для Fir) Для больших г решает W. Для положительного W функция F(r)
тоже положительная и существуют движения, распространяющиеся до
бесконечности. При отрицательном W таких траекторий не существует. В
случае W=0 функция U(r) продолжает существовать, а при некоторых
обстоятельствах также сохраняется и величина а&.
Знак F(r) для малых г зависит .от быстроты, с которой \U(r)\ стремится к
бесконечности.
136
Там, где она увеличивается для малого г быстрее чем -^
F(r) - положительна и существуют траектории, подходящие произвольно
близко к центру сил;если Uif) стремится к бесконечности медленнее, чем -
, таких" траекторий- не существует^
если U(r) стремится к бесконечности таким же образом, как
1
, тогда решающее значение имеет а".
Далее, существуют такие случаи, где кроме траекторий, идущих к центру и
идущих в бесконечность, имеются траектории, проходящие между самым
меньшим значением г, rmin, и самым большим значением г, гтах, а именно
при условии, если Гтт и гтах - последовательно идущие нулевые места F(r),
между которыми F (г) положительна.
Для случая, когда |U (г) |стремится к бесконечности медленнее, чем ,
существует всегда значение W, при котором наступает либрация; для
отрица!ельного W не существует вообще никаких движений, кроме либрации.
Применение в атомной физике распространяется только на движения,
остающиеся на конечном расстоянии от центра и являющиеся периодическими.
Из этих соображений будем рассматривать в дальнейшем только случаи
притяжения и будем придавать W такие значения, для которых F {г)
положительна между двумя следующими друг за другом нулевыми положениями и
гтах¦ Применим к этому случаю наш метод исследования периодических
движений. Так мы получаем интегралы действия
1 Математически говоря, это обозначает, что величина U (г) для малых г
порядка большего, нежели для . Порядок величины функции / (д:) (> 0), для
малых х больший, чем порядок величины функции ^й(>0), если только
lim g (х)
x=0jj]pj=0; f(x), g(x) одинакового порядка при условии, если предельное
величина постоянная.
137
второй интеграл принимает форму
-а - if 1- x*dx
Па J
Вычисление дает (срав. (3) и (8) приложения II)
Л = (аэ - а? ) .
Пооде этого можно аэ и аф выразить через переменные дейст-
вия Л+Л
"*-Т5Г
(?)
Чтобы отыскать энергию, как функцию У, нужно уравнение
(6) = 2v-[W-U(r)]-{^^ dr
решить относительно W.
Это невозможно произвести без приближенного определения U (г).
Легко видно уже из уравнения, что решение относительной зависит только от
Jr и члена Уэ+Ур. Из этого следует, что частоты равны:
8W №
ч~дЛ' v<p_sy?
и система является вырожденной.
Руководствуясь основными функциями, приведенными в § 15, введем новые
переменные wv w2, w3 и; Jlt У2, У8 таким образом, чтобы w3 было
постоянно. При этом расположим их так, чтобы в случае кулоновского поля
сил, где vr=^=ve=v?, переменная w2 также была постоянна. Опираясь на (8)
§ 7, положим
(7) wt=wr У1 = УГ+У(r)+Л
w2=w" - wr У2=Уэ4-У?
ws - w? - w& У3=У<р
Тогда уравнение (6) кроме W будет содержать в себе только yt и У2 и мы
отыщем W в форме
(8) Л).
Для стационарных движений при отсутствии вырождения сохраняются два
квантовых условия, напр, отсутствие кулоновского поля
(9) Jx = nh
J2z=-k h3
138
где п называется главным квантовым числом, и k-второстепенным квантовым
числом *.
Переменные действия имеют следующее физическое значение: У2- общий
импульс вращения, определенный с точностью до
множителя 2^-, За?ем У3- его компонент по направлению полярной оси. Само
собой понятно, что У, не может равняться нулю, что касается У2', то J%-О
означало бы движение по прямой, проходящей через центр-"путь маятника". В
физическом применении, где силовой центр представляет атомное ядро, этот
случай, конечно, исключается. С целью выяснения физического смысла
угловых переменных, вычислим их посредством уравнений преобразования
dS
wK
dJh "
Вводя JK в уравнения (3), мы будем иметь: (/2|х[^(Л У,)-?/.(г)J-
У2
J 9.
4it2 гг
Ръ*
- л/~ У2_________________________________________
