Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
произвольное направление, то движение - вырожденное, и поэтому можно
число степеней свободы понизить на 1. А именно, мы можем, не ограничивая
общности, постоянную полярную ось в пространстве отложить по направлению
Ф. Тогда мы получим:
3)z=Z)sIndsin <р
(8) Ъв= - D sin& cos tp
%S = D cos&
и импульсы' будут:
Р"=О P*-D
9) Pf=D cos &
A =Z.
Поскольку для конечной точки(r) кривая движения предписана на эллипсоиде
(6) и эта кривая обходится полностью втечение циклического изменения tp,
то cos & можно определить однозначно, как функцию tp. Так мы приходим к
заключению, что движение в координатах &, <J*, ср, С разделимо, и
интегралы действия будут иметь вид:
фрф^<}| = 2 nD; ф /74, dy-D§ cos Mtp; ф р% dC=2nZ
и, следовательно, квантовые условия1
n_/nh
(Ю) cos $d<f=n*h
__________ 2n '
1 Квантовое число общего импульса вращения здесь мы не обозначаем буквой
у, как это делали в общей теории, но заменяем ее через т, так как это
обозначение употребляется для обозначения связи терм молекулярного
спектра вращения (см. Ротатор § 12).
Второе квантовое условие можно интерпретировать наглядно следующим
образом: поверхность, которую в отрицательном направлении обх одит конец
вектора Ф на сфере (7), равна
р--rf(p = (c)2 cos ft rftp.
Выполняя интегрирование no ft и при условии, что контур, ограничивающий
поверхность, не охватывает собой полярной оси, получаем:
/7=Ф2<6 cos 0 = 2teD3- .
J т
Если он охватывает положительную полярную ось, то
(1-cos&) dy = 2rcD2^-^--.
Если же он охватывает собой отрицательную полярную ось, то /7=(c)аф(1+
cosb)dy=2nD's^~^-
и если он замыкает собой две стороны полярной оси, то F= (2 - cos 0) = 2я
.
Во всех случаях отношение F к полуповерхности шара будет:
F п
<И) 2т.ПР~т'
где п - целое число, и мы можем второе квантовое условие формулировать
следующим образом: отношение поверхности, вырезаемой вектором Ф на сфере
(7) к поверхности полусферы,
равно п может принимать значения 0, 1...2т.
Применим теперь наши формулы для обыкновенного волчка без махового
колеса1.
Вместо (1), для компонентов импульса вращения мы получим
<5>Х=АХЪХ, =
Уравнение энергии (5) переходит в уравнение
[А, b2x+Ayb2y + Azbl].
1 См. F. Relche, Physlkal. Zeltschr., Bd. 19, S. 394,1918.
117
Посредством подстановки компонентов импульса вращения, приходим к
02) г-4[?+3&+?].
Отложим опять постоянную полярную ось в пространстве в направлении общего
импульса вращения; тогда вновь сохраняется соотношение (8), и мы имеем
право написать
т' 1 па Г . * п /sin1* <р cos*<p\ cosa"1
(13) Г-Т^Г Ч^Г+'Л J+'X'J-
Получаем два квантовых условия
Фрф d Ф=2тс D-mh
(14) У(tm) *
dy=D ф cos&d <f=nh.
Во втором условии мы запишем cosS с помощью энергии T-W, как функцию <р.
Из (13) следует
2 W
(sin? cos2 <р \
~а7+"а~/
I /sin2 9 cos^tfN
а.\~АГ+~\ )
И второе квантовое условие будет:
// sina ф cos2 ф \ 2W-D* (-т^+-~лЛ)
---- Л ^' d^nh.
1 / sm2" , COSztp \
Sinz(p , ,
~АГ + ~ A
s>\
/
Оно приводит, как видим, к эллиптическому интегралу, содержащему энергию
W, как параметр.
Вычислить W, как функцию квантовых чисел тип, явно невозможно, кроме
случая наличия симметрии вращения (АХ=АУ), рассмотренного нами уже в (§
6). В этом случае, когда АХ=А,, энергия (13) переходит в
г--Итг+т)
<р-циклическая переменная и д - постоянная. Квантовые условия теперь:
т^
2тс
и, следовательно, cos&=
я
т.
т. е. мы имеем квантование по
направлению, причем импульс вращения совершает прецессию не вокруг .
неизменной пространственной оси, а вокруг оси, неизменно связанной с
телом фигурной оси. Энергия, как функция квантовых чисел, выразится:
Исследуя, каким образом координаты какой-либо точки волчка выражаются
через циклические координаты <1> и <р, мы приходим к убеждению (конечные
ряды Фурье), что' в развертке ряда электрического момента, вообще,
частоты v? и появляются при коэфициентах 0 и + 1. Следовательно,
квантовые числа ли т. могут изменяться на 0 и +1. Только в том случае,
когда электрический момент не имеет компонента в направлении фигурной
оси, переход Дя=0 отпадает.
Применение уравнения энергии (16) к многоатомным молекулам приводит к
многим системам полос спектра вращения, сдвинутых друг относительно друга
на определенную величину.
Последовательность линий удовлетворяет той же формуле простейшего типа
(ср, § 12).
Коснемся, кстати, вопроса, как с помощью предельного перехода можно из
формулы волчка (16) получить формулу (1) § 12 для ротатора, и покажем, в
какой степени применима формула ротатора к двухатомной молекуле.
Допустим, что имеется идеальный случай системы, состоящей из двух
материальных точек, скрепленных неизменно жесткой связью; тогда в формуле
волчка (16) Лг = 0 и вследствие того, что энергия остается конечной, я
может принять только значение 0. Тогда для энергии мы получаем уже
знакомую формулу ротатора (1) § 12
Но, в действительности, в двухатомных молекулах кроме почти точечных ядер
больших масс существует определенное число электронов, движущихся вокруг
