Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борн М. -> "Лекции по атомной механике Том 1" -> 46

Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.

Борн М. Лекции по атомной механике Том 1 — ДНТВУ, 1934. — 315 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipoatomnoyfizike1934.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 100 >> Следующая

с началом координат:
(7) г=
1+е cos (ф - ф0) -
е обозначает числовую величину эксцентрицитета и q-"параметр".
143
Выразим их через переменные действия следующим образом: <8) s*=1-7f
Этими двумя величинами определяется вид эллиптической траектории. Так как
обыкновенно эллипс определяется большой полуосью а и эксцентрицитетом е
или обеими полуосями а и Ь, выразим еще а и Ъ через переменные действия.
Тогда имеем:
*10) а = = 4тtV^Z
(11) Ь=ауТ-? = ^^2-
Квантовое условие определяет из этих величин только а; е и,
следовательно, q и b будут принимать все значения, соответствующие
значениям а. Связь а с величинами W и vx детерминированными также
квантовым условиям, мы можем записать следующим образом:
<12)
<13)
Уравнение (13) есть не что иное, как третий закон Кеплера. Уравнение (12)
выражает для случая круговой траектории тот факт, что энергия пути равна
половине потенциальной энергии. Она равна в общем случае, как мы сейчас
увидим, половине усредненного по времени значения потенциальной энергии.
Рассмотрим процесс протекания движения во времени. Для по (10) § 21 можно
записать
j ¦ л [* JJ-Vjrfr
^1=V/+81 =
Если разложить подрадикальное выражение на его линейные множители, мы
получим
и¦r'i.dr
w. - * -------------- r J -
-Ji
VA v [a(l+s) -г][г-а (1 -е)1*
ибо a(l-f-s) и а(1-s) представляют границы либрации г. Далее, в
результате подстановки
(14) r=a( 1-s cos и).
144
¦eCOS U) dll
интеграл сводится к виду:
V-V\a Г ,л w.= ¦ - I (1
(15)
2 nwt = u - esinM.
С целью выяснения геометрического значения и, введем с пэ мощью
5 = г cos (ф - ф0)
тг) = г sin (ф - фо)
прямоугольные переменные, в координатной системе которых ось 5 будет
служить большой осью пути и начало будет в силовом центре. Тогда из (7) и
(14) вытекает
(16)
(17)
е Q -г а'
5 = ------ a cos и--------
- a {cos и-е)
Рис. 13.
К)* = гг -
-$3=а2(1 - е2)(1 -cos2 и)
1rj-а V 1 -Is sin и .
На рисунке ON=a, ZQ=?=q [cos (ZON)- e] и QM = = = V 1-e2> QN=a^f 1 - e2
sin (ZON). Угол ZON есть вспомогательная величина и. Благодаря этому
значению и называется эксцентрической аномалией.
Найдя таким образом все величины, имеющие решающие значение для
Кеплеровского движения, сопоставим их еще раз. Энергия движения
(3)
-
2гс* u?4Z2
У2 '
•м
Движение происходит по эллипсу с полуосями
J 2 •/"
<10) 01)
и параметром <9)
Эксцентрицитет
<8а)
Чтг* {1 e2Z '4n2^e2Z
2
л
Барн-409-10
145
и направление нормали, определяющееся посредством формулы
. Л
cos
•'i
Процесс движения определяется с помощью
(14) г-а( 1-е cos и)
(16) Е = а(cos и - е)
(17) ri= а у 1 - е* sin и
причем и находится из (15а) 2itv1#"=" - esinii,
где
4n2y.e4Zs
(5а) v
J3
•'t
и i отсчитывается от момента времени прохождения через перигелий. Зная,
как движение происходит во времени, можно вычислить средние значения
известных величин. Ниже нам
1
придется часто пользоваться средними значениями величин - разных
степеней; поэтому вычислим ее в общем виде, а именно:
1 _ Г _ Г 1 vi^
T'j rn J гл-2 '
Здесь плоскостная скорость г2<р равна площади эллипсоида, умноженной на
2v" из чего следует
clv,<//._ d$
{18)
и
1 Г dl? :abj r"~2 *
2п ab,
о
Для n^ 2 можно найти среднее значение очень легко, беря предварительно-
значение ~ из уравнения эллипса (7)
(7') - = - + - cos"l).
v ' г q q т
Так мы получаем:
,19, х, 1+ж ,Д_К)
1} Г* ауг^ Ь"
т 1+т"' -¦ (•+-?¦)
г6 а6 /Г^ё57
Средние значения -, г, г2.. .вычисляются с помощью эксцентрической
аномалии следующим способом (использовывая (14) и (15):
/¦"*= Jr"vi dt=a* ^ J (1-е cos u)n+1du;
Следовательно, имеем _
!=j_
¦г а
(20) L, е4\
'-'Ч'+т/
'5="'(1 + 2 ''j
Среднее значение выражения г" cos"tj) (т > 0) вычисляется для п ^ - 2
посредством уравнения эллипса (7'); Для п - 1- с помощью эксцентрической
аномалии. Принимая во внимание (18), получаем
г" cos m^=2^abJ r"r+'2 c°sm"l) г/ф, а с помощью (14), (15) и (16)
г9 cos" ф = ап J (1 -ecos и)"-"И-1 (cos и- t)mdu.
Так что
cos ф= - е
_ _____ 3
(21) ?=rcos^=-----2еа
[+_-(2+¦?)*"*
,nrv, совф совф 6 cos8ty____1_
р -U, -fi- 2Ь(r) г3 2Ьв '
147
Среднее значение выражения г" cos" <|* sin*<J> исчезает для нечетных /.
Для четного I можно sin2ф заменить через 1 - cos2<J>, и среднее значение
сводится к среднему значению формы, рассмотренной выше. В частности <*"
Определим теперь среднее значение потенциальной энергии во времени:
U= - elZ-~ =------A = 21F.
_ га
Следовательно, U равна удвоенной энергии пути.
Средняя кинетическая энергия будет равна
Эта формула выражает тот факт, что средняя кинетическая энергия равна
половине величины средней потенциальной энергии и сохраняет свое значение
вообще для системы электрических зарядов, взаимодействующих по
кулоновско'му закону. Далее, пусть координаты электрического центра
тяжести определяют электрический заряд, движущийся по кеплеровскому
эллипсу. Они представляют собой не что иное, как усредненные по времени
координаты $ и -г). Следовательно
т 3
2"еа'
На основании симметрии _
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed