Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борн М. -> "Лекции по атомной механике Том 1" -> 41

Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.

Борн М. Лекции по атомной механике Том 1 — ДНТВУ, 1934. — 315 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipoatomnoyfizike1934.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 100 >> Следующая

молекулах, то в предыдущих параграфах мы видели, что он не влияет на
движение вращения ядер и обусловливает появление одного аддитивного члена
в выражении энергии, при условии, если сам импульс совпадает с
направлением линии соединения ядер. Очевидно, картина не изменится, если
ядра будут колебаться в этом направлении. Мы ограничимся при нашем
дальнейшем рассмотрении пока этим случаем.
Итак, рассмотрим двухатомную молекулу, состоящую из двух материальных
точек, т1 и тг, находящихся на расстоянии г друг от друга и обладающих
потенциальной энергией U(r).
Можно показать, в самом общем случае, что такую проблему двух тел можно
свести к проблеме одного тела. Выберем центр тяжести наших материальных
точек за полюс координат О и определим линию, соединяющую тг и /я2 через
полярные координаты Ь, (р. Если теперь гг и г2-расстояния материальных
точек от 0, то их полярные координаты будут г,, 0, (р и г2> я -ft, тг+ср;
далее, заметим, что rj+r2=r. Функция Гамильтона запишется:
H=~{rl+rl &2+r?<p2sinsd)+^ (Г2+Гг&а+Г2 <p2sin20)+?/(г) -
(Щг\+ т2 r\ ) + ^-{m1r\+m2rl) (8*4-<p2sin?0) + f7 (г).
На основании теоремы о центре тяжести можно написать:
тхгг = тгг2
и, следовательно,
т2г т. г
г _=-i-• г - ^ -L-.
/я,+/ла 2 т1+т2
Подставим эти значения в выражение
(1) Н=^-(г* + гФ+ rVsin*d)+i/(r),
1 М. Born я W. Heisenberg, Ann. d. Physik., Bd. 74, S. 1, 1924.
126
где, полагаем
(2)
(X /nt m2
Выражение (1) представляет как раз функцию Гамильтона для движения
материальной точки с массой ц под влиянием центральной силы, расстояние
от которой к нашей точке равно г. Эту проблему мы будем рассматривать с
еще более общей точки зрения ниже, а здесь только остановимся на факте,
имеющем место в молекулах-факте существования положения равновесия г. Он
выражается в том, что существует расстояние г, для которого U(г) имеет
минимум, т. е.
(3) ?/"'=О, U0"> О,
где индекс 0 обозначает (и далее будет обозначать), что
Возможное состояние движения системы может быть таким, когда вся система
вращается вокруг неизменной, находящейся в пространстве оси, проходящей
через центр тяжести масс и перпендикулярной к линии соединения этих масс
(ядерная ось).
Вращение происходит с постоянной угловой скоростью и постоянным
расстоянием между ядрами г.
Далее, имеем
(4) vH=U'.
Здесь черта обозначает так же, как это будет впоследствии, то, что
г-г.
Это состояние движения мы примем за исходное положение для наших
дальнейших исследований малых колебаний. Пусть расстояние г увеличено на
приращение пути я: г=г-\-х. Развернем функцию Гамильтона в ряд, по
степеням х, считая ее зависящей от х, <р и соответствующих импульсов, т.
е.
[>+(7+х)2у] + U (7+*)-
Импульс, соответствующий <р
P=V--(r+х)\
постоянный, так как <р - циклическая и совпадаете импульсом вращения.
Таким образом (для х=0)
(5 )______ Р=\У/*Чй-
1 М. Born und Е. г1 fl с k е 1, Physlkal, Zeitschr., Bd. 24, S. 1., 1123;
s. each. А. К r a t z e r, Zeitschr. f. Physik., Bd. 3, S. 289 u. 460,
1920.
127
Импульс, соответствующий х
рх=?.х.
Теперь имеем
л* п _
(6) н
2р(г+х)2 2|i
Развернем по степеням х
h-[^+z7]+v+[-1S+d:
-?/(г+л).
л+
1
2:^.г4 2!
L/*
+
1 ---------(4)
+ _ С
2 цг6 4!
Ввиду (4) и (5), множитель при х исчезает:
(7)
Р-г3
(8)
где
<9)
Функция Гамильтона, наконец, примет форму:
H=W,+^+?-o>*-x2+ax!,+bxi+..
Wn
2}ir
О)
3 U"]
4 1 -
а -- 4 -~-Ь -U' 2ргъ 3!
Этим мы свели проблему к проблеме негармонического осциллятора,
разобранного нами в § 12.
Если ввести теперь угловую переменную и переменную действия, то
необходимо положить
J- 2 пр;
введем вместо х и рх способом, приведенным в разделе о гармоническом
осцилляторе переменных, wx и Jx.
Ограничиваясь (8) членом л:3, получаем
<Ю)
128
приняв предварительно для сокращения записи
15 а2 v*
а-
4(2пу)6[а3
Функции W0(J) и v (У) находятся очень просто: из (7) вычисляют г, как
функцию от р или У и подставляют в (9). Чтобы их вычислить до конца,
необходимо, конечно, знать точно U(г). Но если ограничиться малыми
скоростями вращения, при которых отклонение г - r0=rlt вызывающееся
центробежной силой, мало по сравнению с г0) то можно притти к цели
посредством развертки в ряд. Тогда уравнение (7) в первом приближении
запишется
Р
-гй / Г- г _____,
dr
4тг*ц Из этого получаем
= r3 U'= гх
d t r*U' JJ = г0з U0
' * 4л*ц r*U0"
Далее,
^0=8^(/o+rj2+^o+r1)=-g^^--;+^o-(-...
V"" 4 W [ 3 4 "V (r0+rtf +U'(r°+ri)] "
= 1 Г 37 I U" I J%u* I 1-4nV[4 "VV 0 4 Tt2|j. r03 Uq
Таким образом
Точно также а можно развернуть в виде
Я='а0"1~а" У2+....
При этом мы отбросили все члены, содержащие У2 выше первого порядка.
Теперь энергия, как функция переменных действия* представится
(11) W=H= U0+^J +yxv (У)+У>(У)+. . .,
где А = ц г02 обозначает момент инерции при отсутствии вращения, и v и а
имеют вышеприведенные значения. Пренебрегая членами с Ув8 и У* У2,
следовательно, пренебрегая агармоничностью и зависимостью v от У, мы
видим, что энергия разлагается на две части- на часть, обусловленную
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed