Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
4=0
следует, что электрический центр тяжести лежит на большой оси в середине
между центром эллипса и фокусом, не принимаемым за центр сил.
В случае кеплеровских движений можно относительно легко образовать ряды
Фурье прямоугольных координат \ и ^ расстояния г. Если и - четные функции
ии~----------нечетная функ-
ция и и, следовательно, wu то тогда можно положить:
со8(2яяу,т)
148
Для коэфициентов получаются интегралы:
•/,
?*=4 J ~ cos (2nw1z)dw1
е
v.
(25) Ст =4 J* cos (2т:
о
'U
Dx -4 j -7=2==;sin(2tt J ay 1 - e3 '0
Интегрируя по частям, получаем:
'U
5T=-JJ* sin (2nw1x)d^~)j 0
a=~?f sln(2nw^d{~j
9
¦ lh
DT = -f- f cos(2iiw1x)d(--------L==r \.
wj Uyi- e2/
Теперь no (16) и (17):
d ^-j=esin udu
- sin udu
dl -^________V=cos udu.
\ а/1 - "¦/*
Введем и, как переменную интегрирования; тогда получим: 4 "
2е Г
Вт--------I sin [т (и - е sin и)} sin и du
ПТ J
о
15
2 Г
С[ = - I sin [т (и-е sin и)] sin udu " J
о
К
2 Г
DT =-| cos [т (и - е sin и)] cos и du.
KXj
Простое тригонометрическое преобразование приводит к:
К 1C
Вт=~ | Jcoe[(t+l)e-issia.u\du-J cos[(t-1)и-те sin"] du^ 0 0
к я
CT= ^~-j-J cos [(x-[- 1) и - те sin и] du +J cos[(x-\)u-teslnu]rfw|
о 0
n к
Dr = - | J cos [(t+1) и - т esin u]du-\-j cos[(t-1 )u-те sin u]du }
Получившиеся здесь интегралы суть функции Бесселя определяющиеся
посредством
тс
& (х) " cos (т и ~~ х sin и) •
Таким образом приходим:
& = ~ [&+i (* в) - Зт- 1 (* е)]
Ct = l[3t_x(x в) -3x+i (х в)]
А = ~ [9fx+i (X е) -1 (т е)].
Поскольку эти формулы для т = 0 непригодны, мы"1 должны еще вычислить В0,
С0, D0 по (25). Это мы проделаем следующим образом:
ч, к
В0=4dwx=^ j{\ - ecosB)2^"=2+e2 о о
4s я
С0 = 4J -dw^=-J(cos" - в) (1 - е cos и) du--Зе
о о
А>=о.
150
И, наконец, подставляя вычисленные значения коэфициентов в ряд (24), мы
приходим к формулам:
Вычисления, произведенные в § 22, служат основными предпосылками для
объяснения некоторых линейных спектров. По изложенным во введении
представлениям о строении атома, водородный атом состоит в нейтральном
состоянии из одного ядра с зарядом +е и большой массой М и из одного
електрона с зарядом -ей малой массой т. Таким же образом устроен просто
ионизированный, атом гелия (Не+) и двояко ионизированный атом лития
(Li++), ядра которых обладают зарядами 2е и Зе. Во всех этих атомах
имеется ядро, заряженное Z-кратно, и один электрон; следовательно,
механика их подчиняется приведенной в § 22 теории.
Энергия в стационарном состоянии будет по (4) § 22
R называется постоянной Ридберга, так как он первый установил ее
присутствие в многочисленных формулах спектров. Ввиду того, что р. равно
^ зависит еще и от отношения массы электрона т к массе ядра М. Предельное
значение R для бесконечно тяжелого ядра
2 1
~ = 1+ 4jT+ ^ - [&+i(t е) - & -1 (т е)] COS (2п да,т)
? О 1
(26) ^ - + [&+i(te) - 3'" + i(*")]cos(2itw1T)
Т=1
со
~ = V 1- ?* • ^ 13.+1 (* е) + & -1 е)] sin (2rt Wii).
§ 23. Водородоподобные спектры
(1)
где
(2)
п _ 2n"fie* А3 •
<3)
тМ 1
^ т+М т т'
+~М
<4)
D 2к* те*
*Хоо -------Г5-------
151
Для других атомов постоянная будет иметь вид:
Поправочный множитель, как мы видим, здесь почти равен
т 1
единице, так как для водорода отношение -^= ^gQ" вследствие
этого часто R с достаточным приближением заменяется через /?<". Термам
(1) соответствуют спектральные линии
По этой формуле по принципу соответственности происходят все переходы
между стационарными состояниями, так как в рядах Ф у р ь е § 22 (26)
коэфициенты всех оберколебаний отличаются от нуля.
Для Z- 1 получается из (6) спектр водородного атома, и в частности для я2
= 2 вытекает давно известная серия Баль-мера:
Самую существенную поддержку для теории Бора оказало совпадение величин
/?н, вычисленных на основании спектроскопических измерений этой серии с
помошью следующего метода атомных постоянных (впрочем, разница между Ra и
#", уже вычислена, атомные константы не принимаются во внимание). Из
опытов отклонения катодных лучей известна, что
По измерениям Миликена элементарный электрический заряд на капельке равен
?=4,77 • 10"10 эл.-ст. ед.
По измерениям теплового излучения и определениям предела непрерывного
рентгеновского спектра (см. ниже) мы имеем:
А=6,54 • 10"а7 эрг. сек.
Из этих численных значений по (4) вытекает, что
В спектроскопии спектральные линии, а также и R, определяются не частотой
(sec-1), а волновым числом (см-1) Вычисление
(6)
Тп ' г.
#=3,28 • 10,к сек-1.
152
производится делением на скорость света с.
При этом соотношения не должны изменяться. В таких единицах измерения R
имеет значение
28^10^ = 1,09.106см-1
с
эмпирическое же значение
/?н = Ю9 678 см-1.
Совпадение обоих чисел зависит от точности измерения е, Зная R, можно
вычислить работу отрыва электрона для одноквантовой траектории. Она
составляет
Это значение дается иногда в больших калориях, приходящихся на молекулу.
Такое же число получается при перемножении числа Авогадро Л/=6,06*1023 и
