Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
V
Подобные соображения имеют место при медленном изменении v с помощью
какого-либо другого внешнего влияния. Так как гармонический осциллятор
математически эквивалентен маятнику с бесконечно малой длиной, то и для
него также
W .
-=const.
V
Из этого заключаем о полной согласованности квантового условия (1) Планка
с адиабатической гипотезой. И, наоборот, можно показать, что для других
периодических систем с одной W
степенью свободы -- является не адиабатически инвариантным.
W
Вспомним теперь о том, что по (8) § 9 величина - при
гармоническом осцилляторе одновременно представляет переменную действия
У. В таком случае можно, вообще говоря, уста-
58
новить для периодической системы с одной степенью свободы квантовое
условие
(2) J- nh.
Величина J удовлетворяет требованию однозначности, так как она независима
от системы координат (благодаря инвариантности ffdp, dqcpaBH. § 7);
теперь мы покажем, что она адиабатически инвариантна.
Общее доказательство теоремы об адиабатической инвариантности (или, как
говорит Бор о механической преобра-зуемости) переменных действия было
произведено одновременно для нескольких степеней свободы Бургером1 и
Прутковым2.
Представим себе механическую систему с одной степенью свободы,
находящуюся под внешним влиянием. Это можно выразить т";м, что в
уравнения движения кроме переменных вводится еще параметр, зависящий от
времени a(t). Далее, под адиабатическим изменением системы будем
подразумевать такое изменение, которое, во-первых, не имеет никакого
отношения к периоду ненарушенной системы, и, во-вторых, происходит
достаточно медленно, так чтой можно рассматривать, как произвольно малую
Ееличину. Предположим затем, что в известной области при постоянном а
движение оказывается периодическим, и мы можем ввести угловую переменную
и переменную действия.
Переменная действия J инвариантна адиабатически до тех пор, пока не
исчезнет частота.
Функция Гамильтона,
НI q, р, a (t))
зависит от времени, поэтому закон энергии не действителен, но остаются
канонические уравнения движения
• дН ¦ дН
dp dq
Мы произвели такие канонические преобразования, которые при постоянном а
приводят переменные q, р к угловой переменной zv и переменной действия J.
Здесь целесообразно преобразования записать в форме [ср. (1) § 7 и (о) §
9]
dS*
Р~~ dq
dw
1 М. Burgers, Ann. d. Physik, Bd. 52, S. 195, 1917. a S. Krutkow, Proc.
Amsterdam Acad, Bd 21, S. 1112 comm. 1918),
59
В функции S* кроме q и w содержится и параметр а, ввиду ч го она зависит
также от времени; по (1) § 7 Н переходит в
dS*
Н=Н-
dt
Итак, канонические преобразовывающие уравнения следующие:
• дН д (dS*\
W = -r^-\-г~.I 1
J =-
dj dt )' дН d I dS*
/ dS* \
'I dt )'
dw dw\
Так как H зависит только ot переменных действия, имеем
aw \ dt J dw \ да J
При этом диференцирование производится по t и а, при постоянных q и w и
диференцирование по w при постоянных У и а. Изменение J в интервале
времени (tt, t2) теперь состаьляет
(ь
tx
При наличии (как мы предполагаем) медленного, не связанного с периодом
системы изменения а, 'можно it вынести за знак интеграла.
Доказательство инвариантности J сводится к доказательству того, что
л
имеет величину порядка a{t2 - tj), откуда именно и следует,
что в пределе при бесконечно медленном изменении (а->0) и
при конечном a(t2 - tx) изменение J исчезает. Но так как S* (по § 9)-
периодическая функция w, то это соображение дей-dS*
ствительно и для она остается неизменной при введении
переменных w,J,a.
Таким образом, подинтегральное выражение (3) представляет ряд Фурье
St я /г * 2п i~w -
Лт (J,a)e
X
60
без постоянного члена (это обстоятельство мы отметили индексом при знаке
суммы . Напишем w, как функцию времени; тогда оцененный интеграл будет:
и
'Л* (J, а) еЫМ1'a)i+l{J' a)]dt.
W
Стоящее под интегралом выражение уже не является теперь точно
периодическим во времени; вблизи определенной временной точки (точки
времени), которую теперь полагаем равной нулю t=0, его можно написать в
форме:
(4) ?'(Ат °+Лт W+. • ' -1
X
>А 0-,2!tix(vV+S")
+а?'[2яiA'°z(vl^+ ЬП)^АН}е^нт^)] • * ¦
x
где значения Лт°, Лт v°, v1, 8°, 8* относятся к точке t=0.
Если проинтегрировать это выражение по периоду первого
члена, то получатся выражения величины порядка аТ и йТ1, где Т означает
продолжительность периода. Произведем развертку (4) вначале интервала
(?,, t2) и образуем интеграл, распространяющийся на период первого члене.
После этого, произведя новую развертку (4; для начала оставшегося
интервала, напишем снова интеграл по периоду первого члена. Будем
продолжать таким образом процесс до тех пор, пока не будет исчерпан весь
интеграл (?" t2).
Последний интеграл, вообще говоря, не распространяется на полный период,
но он имеет конечйую величину даже и тогда, когда (4 - tx) является
произвольно большим. Из этого видно, что, если Т остается конечным на
всем пути интегрирования, то v° не исчезает и общий интеграл имеет
