Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
величину порядка •
а(^ - ?,), чем и доказан? адиабатическая инвариантность J. На основании
этой инвариантности и результатов, полученных при исследовании
резонатора, мы пришли к выводу, что У есть в общем случае ква"тующая
величина Это предположение подтвердилось дальнейшим развитием квантовой
теории. Сформулируем его следующим образом.
Квантовое : условие. При стационарных состояниях периодической системы с
одной степенью свободы переменная действия является кратной целой
величины А;
J=nh.
61
Благодаря этому квантовою? условию1 устанавливаются энергетические
уровни, как функций квантового числа п.
Упомянутый во введении экспериме^альный опыт электрон-* ных ударов
позволяет чисто эмпирически определить уровни: энергии атомной системы.
Сравнение этого определения с теоретическими значениями энергии дает
возможность для проверки основных положений квантовой теории в той
степени, в какой мы ее здесь рассмотрели. Связь атомной системы с
излучением происходит, как было упомянуто в введении, по известному
независимому квантовому закону, - частотному условию Бора
hv= Г(1)-
регулирующему частоту испускаемого атомными системами и поглощаемого
света.^При этом Wо и WW обозначают энергию двух состояний, a v обозначает
частоту света, эмиссия или абсорбция которого связана с переходом системы
из состояния 1 в состояние 2. В*сл_учае эмиссии (UPW> ИРГО) формула'дает
положительное V, в случаеже абсорбции (НР(2))-Отрицательную v.
Частотное условие Бора представляет возможность точной проверки квантовых
правил при одновременном использовании частвт, которые определяются на
основании спектров.
§ 11. Принцип соответствия для одной степени свободы
В обоих законах атомной механики, выведенных в § 10, находит свое
обоснование требование устойчивости атома, вопрос о котором возбуждался
еще во введении.
Обратимся теперь к вопросу, в какой степени они соответствуют требованиям
о сохранении классической те(?рии, как предельного случая квантовой
теории.
В обоих квантовых законах характерной величиной выступает планковская
постоянная А, измеряющая расстояние квантовых состояний.
Наше требование означает, что в предельном случае, когд$ h->0, квантовые
законы переходят в классические. Тогда дискретные уровни энергии
сливаются в континуум классической теории. Особенно тщательного
исследования требует условие частот. Исследуем, согласуется ли частота,
вычисленная на его основании, с частотой в предельном случае, ожидаемой
по классической теории.
1 Это квантовое условие впервые в геометрической форме было приведено
М. Планком в "Лекциях по теории теплоизлучения* 1 изд. § 150, 1906. Оно
также встречается у П. Дебая "Доклады по кинетической теории матерйн и
электричества". S. 27, 1913.
62
По классической, теории излучение системы электрически заряженных частиц
с зарядами е* в местах хк определяется электрическим моментом
и
Если излучение за период незначительно, то для определенного промежутка
времени можно не принимать во внимание затухания. В случае системы с
одной степенью свободы, что имеет здесь место, прямоугольные координаты
зарядов будут периодическими функциями
(r)>=v ?+9
с периодом 1. Т%к как то же действительно и для р, каждую компоненту
электрического момента можно развернуть в ряд. Фурье в виде
оо
2 ae2niTW.
1S= ¦ со
Здесь Ст- комплексные числа, но, так как электрический момент реальный,
то Ст и С_т должны быть сопряженными комплексными величинами.
На основании этого положения колебания электрического момента во времени
можно представлять себе, как некоторое наложение гармонического колебания
и частоты tv; амплитуды соответствующих частичных колебаний момента равны
|СТ|, а их энергии пропорциональны |СТ|2.
Одно такое частичное колебание классически давало бы частоту излучения
/1Ч - dW dW
(1) "и-w-'-37--т-
а -
X
Сравним ее с квантотеоретической частотой 2
- &W
Уда -
И.
В рассматриваемом здесь квантовом переходе уменьшим квантовое число п на
т
Д/= /2 - ./j = (пг - л,)А = - тА,
так что можно написать
(2)
'iga = J •
д-
х
1 В ряде Фурье рядом с т появляется всегда и --т, как коэфициент;
знак для классической частоты не имеет значения.
2 ПоложительноeV в выражении квантотеоретической частоты обозначает
эмиссию, отрицательное - поглощение.
68
Переходя к пределу 0 или А > 0, замечаем тождественность (1) и (2).
т
Для конечных h соотношение между частотами (1) и (2) можно сформулировать
следующим образом:
В квантовой теории производные классической теории заменяются частными
разностей. Переходов к пределу бесконечно малых изменений независимых
переменных, при конечных интервалах величины А, не делается.
Переход между двумя соседними квантовыми состояниями при т = 1
соответствует классическому основному колебанию; переход, при котором п
изменяется на т, соответствует класси-
ческому т-ому оберколебанию v =¦= tv.
Это взаимоотношение между классической и квантотеоретической частотами
представляет сущность принципа соответствия Бора.
