Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
_____1 L 2 / р<\> -р<? cos а V
2 Ах sin" J
+
Рч*
2 А, '
Потенциальная энергия изобразится в следующем виде:
U-D cos О,
откуда:
Н=
1
2А3
рь2 +
- cos а
sin О
Н-------------------------------------7-
------f-D cos $.
t А
Но, так как tp и ф - циклические переменные, имеем
(12)
Р<0 =*= "2
Р'-Р - а"
Рь
2 AXW- | -3-- sin О
- 2 AXD cos О
1В)
где
В уравнении для t положим cosO=" и получим.
du
4ха
(1-и*) гД.Ю'
a\-2AxDu }- (а3 - аа и)г
Эйлеровские углы tp и 6 также выражаются подобными эллиптическими
интегралами. Именно, реидая уравнение (3) § 6 относительно tp и 4",
принимая во внимание (12), получаем
*_____b\
4г Ах)
+ -
а2- аа COS О
А~ sin2 а
• a, COS О
Ах sin2 О
и
(14)
, и du
Ах(\ - и2) YF '
Решение эллиптического интеграла в форме (13) дает u=cosO, как
периодическую функцию времени. Она колеблется между двумя нулевыми
положе-
46
ниями F, заключающими интервал, н котором сама F положительна. Еслге
<*2 " ТО
т. е. оба значения F-отрицательны.
Чтобы движение происходило, необходимо, чтобы F не была нигде в интервале
(-1, -й) отрицательной; она имеет два нулевых положения и щ могущих также
сливаться и одно. Если нулевые положения различны, то это обозначает, что
точка сферы оси волчка колеблется между цвумя параллельными, кругами
и 0=$2 (сфера, описанная из центра волчка). Эта
точка описы-
вает кривую, показанную на рис. 1.
В случае двойного корня, уравнения (13) и (14) непригодны, но движение
легко описывается элементарным путем,-.так как9-const и мы имеем случай
регулярной прецессии.
Установить общее единое правило для строгого решения диференциального
уравнения (5) Гамильтона-Якоби невозможно. Во многих случаях можно найти
решение, благодаря теореме о том, что S представляет сумму функций,
каждая из которых в отдельности зависит от координаты q (кроме того от
постоянных интегрирования
Диференциальное уравнение с частными производными (5) разлагается тогда
на / обыкновенных диференциальных уравнений
В этом случае говорят, что диференциальное уравнение (5) решается
разделением переменных. Выше рассмотренный случай, где все координаты
кроме одной (q^ были циклические, здесь получается, как предельный
случай.
Предполагают, что
(15)
•S=St (<?|)+ • • • +Sf(qf).
или, решая по ,
Рис. 1.
S=Si{qu&{.. .af)-\-u.2q2-\-.. . \-o.fqf. Тогда получаем диференциальное
уравнение
что точно совпадает с (II).
4Т*
ГЛАВА ВТОРАЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И МНОГОПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
§ 9. Периодические движения с одной степенью свободы
Мы уже видели, что для систем с одной степенью свободы /можно ввести
вместо переменных д, р новые переменные и а таким образом, что а будет
постоянной, a ? линейной функцией времени. Поэтому переменные у и а
определяются не однозначно; напротив, а можно заменить любой функцией от
о, причем <р перемножается на некоторый множитель, зависящий от а.
При периодических движениях выгодно делать вполне определенный выбор <р и
а. Существует два рода периодичности. Первый род заключается в том, что
различным положениям системы соответствует различное значение q, a q и р-
периодические функции времени; одновременно они являются функциями
линейно связанного с ними переменного <р:
д(<р + ш) = д(<р).
Второй - заключается в том, что всякий раз после каждого определенного
приращения q, которое мы положим равным 2тг, система занимает одно и то
же положение. Так как эти приращения происходят всегда за одинаковый
промежуток времени, то
q (<р+(r)) = g(<p)+2it.
В первом случае мы говорим о либрации, во втором - обращении. Примерами
этого могут служить колеблющийся и вращающийся маятник (см. ниже).
Выберем в обоих случаях вполне определенным образом, а именно так, чтобы
за время одного периода движения она получала приращение 1; пусть <f = w-
угловая переменная. Соответствующую ей сопряженную переменную обозначим
через J и назовем ее переменной действия.
Если тепер рассматривать 5 как функцию q и У, то имеем
dS(q,J)
Таким образом, производная от гелю пути будет
dw _ д IdS\ dq ~ dJ \dq J '
Требование, чтобы периоды w равны были 1, означает, что
f dw-rj$ %dq-gj§ pdq-h
При этом знак ф обозначает интегрирование по всему периоду, т. е. в
случае либрации пробегает по пути q, возвратившись в исходную точку, а в
случае вращения - по пути длиною в 2ir. Это требование выполняется, если
положить, что
(1) /= §-~dq=$pdq,
т. е. под J нужно понимать приращение 5 за один период Ч Итак, введение
новых переменных w,J можно произвести описанным ниже образом.
Если Н дана, как функция каких-нибудь канонических переменных q и р, то,
определив функцию действия S=S {q,а) интегрированием уравнения
Гайильтона-Якоби, вычисляем интеграл
J=$dq dq>
как функцию а или W. После этого вводится J вместо а (или!?7) bS.
Благодаря преобразованиям
dS(q, J) , р dq
(2) w =
q и р будут периодическими функциями w с периодом Г, и Н функцией W от
одного J.
Из канонических уравнений следует
/= const
и
• dW W~ dJ _v
1
