Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
х=лих+л12у+а13г рх =а.ирх +а ^ру +лирг
(14) У = а21 *+a22y+a23z р" = а21 рх +а22ру +^3рг
а31 21 Pz =а31 Рх "Ьа32 Ру ~ЬаЗЗ Рг-
36
Следовательно
pl+pl+pl=pl+p*+pl
Приведем еще пару преобразований, где V зависит от qk и qk Функция
Таким образом, она переставляет координаты и импульсы. Часто
употребляющееся преобразование с помощью функции
Покажем теперь на одном примере, каким образам могут быть использованы
канонические подстановки для интегрирования уравнений движения.
Линейный гармонический осциллятор. Для него имеем
При этом q обозначает длину, т - массу их - постоянную упругости. Вводя
импульс
k
дает по (1) qk = -pk
Pk =qk
I
и приводит выражение <j2+pa к 2р.
Более общая фунция V=^-w q2ctgq представляет q и р в виде
л/ 2Р • -q= \/ -- sin q } mu>
(16)
и переводит
в
ар.
р=тд
и полагая
7
имеем
(17)
//=
1 П(r)-
Р+-о-
2 т
Здесь, таким образом, имеет место упомянутое преобразование (16). Называя
новые переменные <р и а, полагаем
' 2а
-У'
• sin •?
(18) p='Y2m<a a cos 9.
Функция Гамильтона тогда выразится:
Н- со а.
Уравнений движения дают: а = const
9 = ш / +
Следовательно, длина выражается здесь:
2а
"гш
Sin (ol ?+Р).
Канонические преобразования определяются тем, что они оставляют
инвариантными форму канонических уравнений движения или интеграл принципа
Гамильтона. Мы подходим к вопросу о той, существуют ли и друГие
инварианты при к конических преобразованиях. Это действительно имеет
место; мы укажем здесь на ряд интегральных инвариантов, приведенных
Пуанкаре1. •
Можно показать, что интеграл (19) Ji = f j^dpk dqk.
распространенный на любые двухизмерительные разновидности 2/-мерного
пространства (р q), является таким инвариантом. Если представить
двухмерную разновидность заданием pk и <7* как функции двух параметров "
и и, то тогда
412
dvk dqk
du du
дрк dqk
dv dv
dudv.
/J
к
djh dq* dPk dJj
du du du du
2j dp* dq.
dv dv к dv dv
1 Н. Р о 1 п с а г ё, M6thodes nouvelles de la micanique c61este, Bd.
III. Кар. 22-21 (Paris 1899).
а) Доказательства инвариантности по E. Brody, Ztschr. f. Physlk. Bd. 6,
S. 224, 1921.
38
при условии, если каноническими преобразованиями получаются 'qi рк из qk,
рк. Напишем преобразование в форме (2)
_dV(ql,~pi...t)m - __dV(ql,pi.. .t)
Рк л у Чк л -
dqt дрк
Заменяя с помощью первого уравнения q , ръ через qv ph, имеем
др. dqt du du V d*v dp,dqt i dqhdp^ du du d2v dPi dqk du du
dp, dot dv dv k sp dV dp(dqk T1 dqh dp( dv dv ~ 2jdqhdJt ik
dpj dqk dv dv
Переставляя индексы, получаем
V--
Zl dqt dpk
ik
дрк djt du du
<>lk dqt dv dv
И если теперь с помощью второго уравнения преобразований qh, ръ свести к
qh, pki то подинтегральное выражение будет равно:
Jma&
dp
d' V т dqL du ifdpkdqi du
dv ~?dpkdqi dv
djh dq_*
Ou du
Z djh d<h
dv dv
чем доказана инвариантность интеграла (19).
Вполне аналогично можно доказать инвариантность
•/*е=ЯЯ 2 dPt'dPt dq-dqr
При этом под интегралом содержится совокупность комбинаций из двух
индексов.
То же сохраняется и для
•/8=ЯЯЯ 2 dPi dPkdPid4i dQkdQi
и так далее.
И, наконец, последний интеграл представляет ряд Jf3** J. •.^йр^.. .dpf
dqt... dqf.
Таким образом, объем в фазовом пространстве остается инва-риантным
относительно канонических преобразований.
39
§ 8. Диференциальное уравнение Гамильтона-Якоби
На примере с осциллятором, разобранном в § 7, была ясно указана основная
мысль интегрального метода, играющего особенную роль для разрешения
проблем атомной механики, (точно также и для небесной механики).
Хотя в применении к осциллятору он и казался громоздким, но зато с другой
стороны этот метод является достаточно мощным для самых запутанных
(особенно периодических) движений, чтобы привести к намеченной цели.
Сформулируем его теперь для случая, когда функция Гамильтона не содержит
явно времени: необходимо переменные qlt р* с помощью канонических
преобразований привести к новым переменным <рк ак так, чтобы функция
Гамильтона зависела только от величин <хк (соответствующих импульсам).
Для этого более всего пригодна форма канонических преобразований (2) § 7.
Итак мы желаем функцию
¦S {Ян Я2 • • • а1> • • •)
определить так, чтобы с помощью преобразований
Рк= Л7Г ^ {ЯиЯг • • • а1>а2'- • •)
(1) ддк
^i~da ^ ^1г Яг • • • аи а2 • • • )
привести Н к функции, зависящей лишь от ак
W (аи а2..._).
Тогда <Pj является циклической переменной, и уравнения движения тотчас же
приводят к решению:
(2) ак=const _dW
(Р" = (0^+Р" Ю*
Определение функции S сводится к решению диферещиаль-ного уравнения
первого порядка в частных производных. В частности выбирается функция
равная av и заменяется в выражении rr dS Q
И через , при этом о удовлетворяет условию
ы( ds\
(3) dqj dqz"" dqf)~av
носящему название диференциальногоуравнения Гамильтона-Якоби. Теперь
задача заключается в нахождении так называемого полного решения,
зависящего кроме а еще и от/-1 интегральных постоянных (<*2, аэ... а/);
посредством функции 5 можно
40
