Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Борн М. -> "Лекции по атомной механике Том 1" -> 13

Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.

Борн М. Лекции по атомной механике Том 1 — ДНТВУ, 1934. — 315 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipoatomnoyfizike1934.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 100 >> Следующая

производитъ преобразования вида (1); причем здесь особенностью* является
то, что
Тогда решение уравнений движения дается решением уравнений (1)
относительно у* и рк, при условии подстановки
Таким образом проблема решения системы 2/ обыкновенных: диференциальных
уравнений первого порядка совершенно эквивалентна отысканию полного
решения (для /> 1) частных диференциальных уравнений (3). Это
представляет особый случай общей теории связи между обыкновенными и
частными дифе-ренциальными уравнениями. Для некоторых целей выгодно в
противоположность тому, как было здесь, не выделять одной а. Тогда
выполняется каноническое гтреобразование, при котором а* (без связи с
<Pi) сводится к такому же количеству новых, переменных а,.. при этом
переходит в
Тогда по доказанной теореме в § 7 (уравнение 11) можно ввести новые
переменные <pt, являющиеся линейными сопряженными с ак функциями старых
переменных с коэфициен-тами, зависящими лишь от постоянных at.
Новые <pt, таким образом, также будут линейные функции-времени, и
уравнения движения сохраняют силу в форме (2).
Ввиду этого функцию S можно рассматривать, как решение: диференциального
уравнения
зависящего от / постоянных a,причем между ними и W имеет место
соотношение
W= Щах.. .Of).
Преобразование (1) с помощью (5) сводит функцию Н к функции Здесь также
dW
0),= -^-= !; ша = 0),= ... =0)^=0.
(4)
= const Ti=^+Pi <Р* = Р*
(5)
Из (1) получается важное свойство функции S, а именно:
Следовательно S есть взятый по кривой интегрирования линейный интеграл
где Q0 обозначает закрепленную, a Q -движущуюся точку пути. В
классической механике и в покоящейся координатной системе этот интеграл
имеет простое значение.
В самом деле (сравн. (8) § 5):
В теории относительности (для одной материальной точки) '2Т заменяется
через
В обоих случаях S -монотонно растущая функция времени. Благодаря
кажущейся формальной связи (уравн. 7) с известным принципом наименьшего
действия Якоби, 5 обычно называют ¦функцией действия.
Рассмотрим простейший случай, а именно с одной степенью свободы,. Тогда
диференциальное уравнение (5) будет обыкновенным, и -уравнение
к
Q
(6)
2 T=^phqk
k
И
(7)
можно рещить относительно
После этого получим
что. можно представить, как частный случай более общей формулы (6).
Таким образом, найденная функция S, не содержащая никаких постоянных,
кроме W, дает общее решение уравнений движения, а именно:
Яо
др(д, W) dW
dq = t - t0
откуда, решая q, как функцию времени, получаем с псгсто-янными интеграции
W. и /0-
Для покоящейся координатной системы Т имеет форму
т=?-
2 р-'
где }i обозначает массу, момент инерции или тому подобное. Поэтому
Следовательно,
(8)
а
p = ^/2^W-U(q),
Ч
= /2jI j/
W-U {q)dq
Я о
(9)
t - t.
"=/т/
Яо
dq
/ W-U{q) '
Пример 1. Свободное падение и вертикальный бросок. Пусть q - высота
подъема движущегося тела и ц - масса. Потенциальная энергия U=\>.gq, где
g - константа земного ускорения; тогда
-'-/if
V W-Y-gq
V W-pgq,
9o
w
где o"=- и, очевидно, для времени ^обозначает максимальную высоту подъ-Pg
mi, Решаиие относительно q дает известную формулу
Я - ?"=- ¦§ (< - 4)2-
43
Пример 2- Физический маятник.
Здесь q обозначает длину - момент инерции маятника. Потенциальная энергия
U=* - D cos q,
(где D называется непосредственно ведущей силой.
Затем имеем
Ю) P=V2A'V W+Dcosq
ч "
'4/vrife7-l/'4/,/ - dq"=T
* г{ V {у W+D-S.DMtHT
н, если подставить,
W+D=2,Dsm*
а
ТО q
dq
Решение этого уравнения, содержащего эллиптический интеграл, дает q, как
периодическую' функцию времени, колеблющуюся между +а и -а.
Для достаточно малого а можно написать
______ <7
dq
Уа*
о
и получится решение в закрытой форме
t-ta-л/ -й- arc sin -¦
<7=
/ в-
a sin ^/~j
В случае одной степени свободы, проблема, очевидно, сводится к тому, что
все координаты, за исключением одной, становятся циклическими.
Пусть
H=H(ql)p1,pi ...pf).
Тогда решение представится в виде и ра=а2> • • • Р/=а/
S^/Pi{quW,a%...at)dq1.
При этом р, получается при решении
(11) H(ql,p1,a2 . . . a.f)=W.
44
Таким образом, будет Г д
t ^0= I fljy р 1 (*?1> ^>а2 • • • */-) &Ч\
Г д
Pt=J w>*f- *f) d4i
(A=2/3 Пример 3. Движение бросания.
Пусть будет ft¦=.* -вертикальная 1 координата и qi=x,q^y- горизон тальные
координаты.
Тогда
7'=-~(*2+_у2 + г2)
U =-- mgz
и, следовательно,
tf=2m +/>"*)+mg*.
Так как хну - циклические переменные, то положим
Рх~а %' Ру~а3 и получим ___________________
рг^у2 т (W-mgz) - о2а- оа3 2 __________________________________________
/______mdz___________ Г 2 , -____
где г,
2 tnW- -as*=2 rtfigz^.
Из этого следует, что
г -г0 = --у (< -<0)а.
Два другие уравнения следуют из
mx - a.t ту - а3
и мы находим
X - ха=-~ (t - ta)
Из трех уравнений движения, исключением t, получается уравнение пути
(парабола бросания)
г - z0- 1- ~е(х - х0)К
ё т* , ,,
г- z0 =" -г(У-Уо)2-
г Отсчет по направлению вертикали вверх положительный.
45
Пример 4. Тяжелый симметричный волчок.
В § 6 мы нашли для кинетической энергии выражение
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed