Лекции по атомной механике Том 1 - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
интегралу лишь притом условии, когда пределы либрации лежат близко друг
от друга (по сторонам центра либрации). В этом случае расчеты полностью
соответствуют решению задачи линейного гармонического осциллятора, к
которому сейчас и перейдем.
Пример. Линейный гармонический осциллятор.
В § 7 мы уже нашли переменные <р и а, при этом q имеет по (18) § 7 отно-
сительно <р период <о=2я.
Переход к и" и У совершается по формулам
г *
J=j'ad<f=2m. о
и
'Э
";= -= n/+S,
? л
Движение теперь выразится:
L -|/ Ы- sin 2 я 4 2яV ту
р=* Y 2т ч J cos 2 я а".
Энергия будет
Из этого немедленно вытекает соотношение
W
У~ dJ •
Чтобы показать, как, не зная (r) и ¦, перейти к угловым переменным и пере'
менным действия, сделаем снова расчет осциллятора, исходя из
Положим это выражение равным W, тогда
у 2т W-m2 u>*q*= YzinW |/ 1-^*,
г а8
где для сокращения
2 Г
=а*.
т ш*
Из этого заключаем, что пределы либрации заключаются между
9=+я и q=-а Вводя с помощью уравнения
9=asln<p
вспомогательную переменную <р, пробегающую за период движения от 0 до
2тс, вычислим интеграл ______
После подстановки имеем
, 21Г f , . 2 я
У=------- I COS^a)atp= -
" J "
г
о
и поэтому энергия или функция Гамильтова
(8) W=H=yJ,
где
10 = 2 7CV,
Чтобы выразить координату q в новых переменных w, J, а, следовательно и
функцию времени,-нет надобности вычислять само 5.
А именно:
к>-/
где р является функцией q и J: *
W = ^jS{q,J) = № dq,
р=У 2/я v./ -• 4тс2 vs /я*
Мы получаем
/тч dq 1 /~2к2 v /я
4------ =-~- arc sin 1/ -г- Я
}^2tnw J-4яг v(r) /яг9* 271 ' У
и
(9) e=/^l8in2rW, где
a"-v*+8.
Для р следует ______
(10) р=У2т wj-cos2tzw.
Для маятника с малой длиной соответствующие формулы имеют вил
§ 10. Адиабатические инварианты переменных действия и квантовые условия
для одной степени свободы
После того, как мы подробно рассмотрели механику периодических систем с
одной степенью свободы, перейдем к вопросу о том, каким образом можно
применить механические законы к атомной механике, главной особенностью
которой является существование дискретных стационарных состояний.
Приближенной картиной этого служит здесь по Планку простой линейный
гармонический осциллятор (См. § 1;.
Стационарные состояния в этом случае устанавливаются так, что энергия
имеет лишь дискретные значения
, W-ti-vh (л=0, 1, 2, ••¦)
Теперь речь идет о том, можно ли поступать таким же образом в случае
любых периодических систем с одной степенью свободы. В развитии атомной
механики современная точка зрения придерживается классической механики,
которая в применении к большему кругу явлений сыграла громадную роль.
Так, осциллятор Планка основан на представлении о том, что движение
колеблющейся частички происходит по классическим законам; хотя не все
движения с произвольными начальными состояниями (значениями энергии;
рассматриваются равноправными в этом отношении, но некоторые известные
движения, задающиеся значением энергии по (1), при взаимодействии с
излучением Исключаются из этого правила благодаря особенной
"устойчивости".
Стремление охватить классической механикой по возможности более широкий
круг явлений оказалось плодотворным. Исходя из этого, во главе всех наших
рассуждений мы ставим требование делать вычисления стационарных состояний
атомной системы, сохраняя, по возможности, шире законы классической
механики, причем классическое излучение совершенно отбросим.
Для выполнения этого требования необходимо,. чтобы движение происходило
так, чтобы о нем можно было говорить, как
о "состоянии* системы.
Этот случай не имеет' места, например, когда траектория уходит в
бесконечность или приближается асимптотически к предельной кривой; но при
периодическом движении можно смело говорить, что система пребывает в
определенном состоянии. Ниже мы увидим, что существует большой класс
многопериодических движений, для которых это соображение сохраняет силу.
С другой стороны развитие квантовой теории показало, что этим
исчерпывается круг таких процессов движения для стационарных состояний, в
которых можно еще ожидать сохранения классической механики; в этом томе
мы будем придерживаться гоаниц этого курса.
Следующий ближайший вопрос заключается в отыскивании условий, при которых
возможно выделение стационарных движений из континуума разновидностей
механических движений.
Попробуем сперва дать ответ для случая периодической системы с одной
степенью свободы.
На первый взгляд здесь необходимо было бы применить просто формулы (1),
выведенные для осциллятора, и так как vr вообще говоря, является функцией
W, нужно было бы для определения W решить трансцендентное уравнение. Но
этот метод необходимо отбросить, ибо он ведет в некоторых случаях к
противоречию с опытом (например, при двухатомных молекулах, атомы которых
связаны между собой агармонически) и теоретически оказывается
невыдержанным (см. § 12).
Квантовые условия, благодаря которым выделяются стационарные пути
движений, можно свести к такой форме, в которой некоторая известная
