Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
возможность изменения энергии электронов за счет поглощения или
испускания квантов внешнего поля Йсо. В этом случае возникает возможность
появления электрического тока в системе и без участия фононов;
соответственно говорят о бес-фононном вкладе в проводимость (или о
бесфононной проводимости) .
Относительная роль бесфононных переходов возрастает с ростом частоты.
Может оказаться, что бесфононные переходы становятся доминирующими на
частотах, при которых уже справедливо парное приближение. По этой причине
при рассмотрении бесфононных переходов часто бывает достаточно
ограничиться парным приближением.
В настоящем параграфе мы рассмотрим бесфононный вклад в проводимость, по-
прежнему оставаясь в рамках одноэлектронного приближения и рассматривая
материал как "жесткий"
246
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
(т. е. пренебрегая взаимодействием электронов с фононами). Последняя
аппроксимация справедлива, если речь идет о проводимости на достаточно
высоких частотах (понятие "достаточно высокие частоты" зависит от
температуры - это частоты, превышающие частоту, при которой бесфононный
вклад сравнивается с фононным вкладом, зависящим от температуры).
Бесфононные перескоки связаны с недиагональными элементами матрицы
плотности, и учет их требует'выхода за рамки рассматривавшегося выше
диагонального приближения. Линеаризованное уравнение для недиагональных
элементов неравновесной части одночастичной матрицы плотности 6(/) в
отсутствие электрон-фононного взаимодействия получается из формул (3.4),
(3.7) при В\\'= 0. Замечая, что в равновесии fu.' -tiF(E\)6\\', можем
привести это уравнение к виду
ih + (?, _ Еу) б/и, - (Я'| Т (/) |Я) [пР (?я) - пР (?"')]. (11.1)
Потенциальную энергию электрона в действующем поле возьмем в виде
Г {t) = Тйе~ш. (11.2)
Тогда решение уравнения (11.1), удовлетворяющее начальному условию
й/хх' (0 I,_= о, (11.3)
дается выражением
00
Sfu' (0 - -j е~ш ^ dl' ехР [тг ~ Е*¦' + йсо) X
X (Я/ I Го I Я) [nF {Ек) - пР (?г)] =
(Я.' | У*0 | Я.) [пр (Ек) - Пр (?r)] f
Ek-Ex, + tm + ie е
где малое положительное число е указывает правило обхода полюсов.
Согласно (6.2) соотношение (11.4) можно представить как соответствующее
выражение для запаздывающей двухчастичной функции Грина К..,.' (/); в
отличие от § 6, нас сейчас
АА AjAj
интересуют недиагональные ее элементы с к ф к' (но при к = Яь к' - ?ц).
Именно, согласно (6.4), (11.4)
$ II. БЕСФ0Н0ННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ 247
Для локальной плотности тока на основании формулы (5.11) мы имеем
Re / W = - -f- ? (Я UIV) (V 1П М Im - -
= ПГ ? (М * IЛ W | Г01 Я) [я, (Ex) - nF (Ex)] X
X6(Ex-Ev + he>). (11.6)
Если действующее поле считать однородным, так что Т (х) = = е8х, то из
(11.6) получается следующее выражение для бесфононной проводимости:
Re а (а") = ?|(Л|х|Г)|2 [пР (Ex) - nF (J5v)] 6 (Ех - Ех> + Йа>).
**' (11.7)
При выводе формулы (11.7) мы приняли во внимание, что в макроскопически
изотропной системе результат усреднения неизбежно должен иметь вид
Re otj (со) = ЬцО (са) (11.8)
и можно провести замену
(K\Xi |V)(V|*,|A)-+ V36f/1 (Я| х |Я') p. (11.9)
Выражение (11.7) можно получить и из формулы (II. 13.5), замечая, что в
рассматриваемом случае &->0 и Тйе(у', у"\у) = = 6 (у' - у")Ь (у' - у).
При этом равенства (II. 13.5) и (II.13.6) можно переписать в виде
(\dAdA
' - оо
р'у)аля'х')\ (ИЛ0)
о^о /
Re ац (со) = Re ( \ dx \ dy \ dy0 еш у, X X Пт
где уже выполнено суммирование по спинам, так что спиновые переменные не
входят в аргументы функций Грина. Фигурирующие в (11.10) причинные
функции Грина удобно выразить через запаздывающие и опережающие с помощью
известных формул
Gc (х, у; Е) = -^- ^dE J (х, у; Е ) ( ?, _ Е _ ,g + Е, _Е + -е ),
- оо
(11.11)
/(х, у; Е') = Gr (х' у;?/ + 'ie)+~^^j у; 'е). (11.12)
248
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Здесь Gc(x, y;?) - фурье-образ Gc по времени х0 - уо, взятый на частоте
E/h, е ->-+-0; в рассматриваемой задаче функция Ог дается выражением
(1.6.9), а для Ga справедлива та же формула с заменой Е + ie на Е - ie.
Отсюда с учетом соотношения
у(Муг|Я')==(?х-?г)(Яиг1П (11.13)
мы вновь приходим к формуле (11.7) для проводимости.
В области сравнительно низких частот, когда
Йсо<7\ (11.14)
разность функций Ферми в (11.7) можно переписать в виде
/с __ р \ dnF (Е>.)
(?*, Е\') дЕ^
Переходя теперь к интегрированию в формуле (11.7), находим
яЙе2ш2 Г / дп" (Е) \
Re а (со) = -^ dR dR' dE dE'б (?-?' + Йсо) [------J X
X9(E)p(E')W(E, E'; [R-n)[(Mx|r)|2. (11.15)
Согласно (III. 3.4) в качестве p (E) здесь выступает сглаженная плотность
состояний (§ II. 1). Формула (11.15) справедлива
и в области делокализованных состояний; при этом, однако,
удобнее перейти от матричных элементов координаты к матричным элементам
скорости с помощью соотношения (11.13), поскольку в случае
делокализованных состояний матричные элементы координаты сингулярны.
Если, например, речь идет о поведении носителей заряда в идеальном
кристалле, то грх(х)' суть функции Блоха. Правая часть (11.15) при этом
