Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Критерий связей (9.5) можно обобщить и на тот случай, когда темпы
переходов зависят не только от взаимного положения центров, но и от их
энергий. Именно, пусть два центра по-прежнему считаются связанными при
некотором Г, если Гм' >
> Г. Тогда среднее число связей центра с энергией Ех равно
v (Е\ - F)= J dRv dEw9> (RRv, EK, Ey). (9.6) ru,>r
Здесь под знаком интеграла стоит условная вероятность попадания центра %'
в объем rfR\' около точки Rv и в интервал энергий (Ex', Е\' -\- dEv),
если в точке R^ расположен центр с энергией электрона Ех- Поскольку число
связей (9.6) зависит от энергии центра, критерий (9.5) нельзя
использовать непосредственно. Его следует заменить некоторым требованием,
содержащим величину v(Ex- F), как-то усредненную по энергиям, Задача
состоит теперь в установлении способа усреднения.
Используя описанные выше результаты численного расчета для трехмерной
задачи, приведенные в начале этого параграфа, удается установить точные
границы для критической величины средней плотности связей в четырехмерном
случае (И. П. Звягин, 1973).
Найдем сначала зависимость числа связей от энергии, считая, что
корреляция в положении локальных центров отсутствует, а энергии их
распределены случайно с плотностью р (Е). При этом
^(Rx, Rv, Ял, ?v) = p(?v), (9.7)
оо
v(?-f) = 4n$d**"$ dE' р (Er) 0 {ri - т) (R, Е, Е')}. (9.8)
о
Здесь г) = 1п(Г/Г°), Г° - характерное значение предэкспоненциального
множителя в формуле (8.5), а г) (/?, Е, Е') - показатель экспоненты в
формуле (8.5) для темпа переходов. При | Rx - Rx' I = Ех - Е, Ех' - Е' мы
имеем согласно (8.6)
т)(R, Е, Е') = 2yR + \E-E'\ + \E.-F\ + \E'-Fl' (g g)
Поскольку расчеты ведутся с логарифмической точностью, мы заменили
условие Ги' > Г условием тщ' < Л- Очевидно, число связей обращается в
нуль, если либо |Е - F| > г)Г г Етах, либо R > ц/2у = ^шах. Таким
образом, лишь центры с энергиями, удаленными от F не далее, чем на Ешах,
могут образовы-
§ 9*. КРИТЕРИЙ СВЯЗЕЙ 237
вать связи; слой толщины 2?тах около F называют эффективным.
Будем считать, что плотность состояний достаточно мед-
ленно меняется в пределах эффективного слоя:
<?mL. (9.10)
ас E=*F
Тогда, подставляя (9.9) в (9.8) и вычисляя интегралы, получаем
v(?) = |fl -4^-Т (1 +#Ц0(?тах~|?|), (9.11)
V max / V max /
где
* = (9-12)
Замечая, что функция v(?) монотонно убывает с возрастанием Е, мы можем
найти нижнюю границу для критического значения хс, определяющего
появление бесконечного кластера связей. Именно, бесконечного кластера
заведомо нет, если критическое значение числа связей не достигнуто ни при
каких значениях Е. Таким образом, равенство
max {v (E)} = vc,
где vc - критическое число связей для трехмерной задачи, и
определяет искомый нижний предел для параметра хс. По-
скольку max{v(?')} = х/2, то
xc>2vc. (9.13)
Для отыскания верхней границы для параметра хс вычислим среднее число
связей данного центра с энергией Е со всеми центрами, энергии которых
лежат в слое \Е%> -F |< 6^?max. Очевидно, это число есть
va
{Ex ~F)= J dRv dEv& (Rx, Rv, Ex, Ev).
Пренебрегая по-прежнему корреляцией в расположении локальных центров и
изменением плотности состояний в пределах эффективного слоя (см. (9.7),
(9.10)), мы получаем
* L\ max у V max / \ max /
-----^Ye^max-S-l^l)]. (9.14)
V max max / J
Функция v6(E), как и v{E), монотонно убывает с ростом |?|; поэтому
среднее число связей любого центра из слоя | Е - Т7! <Е
238
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
< 6 с другими центрами этого слоя всегда превышает величину ve(6). Если
минимальное число связей любого центра слоя | Е - б|<б с другими центрами
этого слоя достигнет vc, то в системе заведомо будет существовать
бесконечный кластер. Таким образом, условие v6(S) = vc, будучи
выполненным при каком-нибудь б, накладывает ограничение на величину хс
сверху. Для того чтобы получить наилучшую оценку хс сверху, выберем
значение б = бь при котором функция ve(S) максимальна. С помощью
выражения (9.14) можно найти, что единственный в интервале (0, EmiX)
вещественный корень уравнения
fV^. = o db
равен 6i = Етах, где xi " 0,21. Таким образом, условие, ограничивающее хс
сверху, имеет вид
< 2 [(1 - *,)3(1 + *,) - 0,5 (1 - *,)4 - 0,5 (1 - 2xi)4] " 5,8vc.
(9.15)
Если применить критерий (9.5) просто к среднему числу связей в слое ]? -
F | < ?шах, то получаем v = 6х/40 и хс ж 6,67vc, т. е. заведомо
завышенное значение. Причина этого состоит в том, что, в соответствии со
сказанным выше, не все состояния слоя |Е - F| < fmax эффективно принимают
участие в проводимости. Среднее число связей для центров, энергии которых
лежат вблизи границ слоя, слишком мало, и эти состояния не дают заметного
вклада в проводимость. Таким образом, реальная ширина слоя состояний,
эффективно участвующих в проводимости, оказывается заметно меньшей
величины 2Етах.
Более точную оценку величины кс сверху можно получить, рассматривая число
связей, усредненное по слою |Е - ,F| <6:
в
ve=4$rf?v6(?). (9.16)
